《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

一 离散型随机变量的均值
1. 均值的定义：一般地,若离散型随机变量 $X$ 的分布列为

则称 $E(X)=$ ①$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n}p_{n}$$=$ ②$\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$为随机变量 $X$ 的均值或数学期望,数学期望简称期望。
2. 两点分布的均值
一般地,如果随机变量 $X$ 服从两点分布,那么 $E(X)= 0×(1 - p)+1× p = p$。
3. 均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的 ③平均水平。

答案： ①$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n}p_{n}$ ②$\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$ ③平均水平

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 随机变量 $X$ 的均值 $E(X)$ 是个变量,其随 $X$ 的变化而变化。(×)
(2) 随机变量的均值与样本的平均值相同。(×)
(3) 已知随机变量 $X$ 的取值为 0,1,若 $P(X = 0)= \frac{1}{5}$,则 $E(X)= \frac{4}{5}$。(√)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√

2. 若离散型随机变量 $X$ 的分布列为

则 $X$ 的均值 $E(X)= $(C)
A.2
B.2 或 $\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1

答案： 解析:选C.由分布列的性质知,$\frac{a}{2}+\frac{a^{2}}{2}$=1,解得a=1或a=-2(舍去).所以$E(X)=0×\frac{1}{2}+1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

3. 一个口袋里装有大小相同的 6 个小球,其中红色、黄色、绿色的球各 2 个。现从中任意取出 3 个小球,若取到红球得 2 分,取到黄球得 3 分,取到绿球得 4 分,记变量 $\xi$ 为取出的三个小球得分之和,则 $\xi$ 的均值为 9。

答案： 解析:依题设,ξ的可能取值为7,8,9,10,11.则$P(ξ=7)=\frac{C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{10}$,$P(ξ=8)=\frac{C_{2}^{1}+C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5}$,$P(ξ=9)=\frac{C_{2}^{1}·C_{2}^{1}·C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{2}{5}$,$P(ξ=10)=\frac{C_{2}^{1}+C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5}$,$P(ξ=11)=\frac{C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{10}$,所以$E(ξ)=7×\frac{1}{10}+8×\frac{1}{5}+9×\frac{2}{5}+10×\frac{1}{5}+11×\frac{1}{10}=9$.答案:9

已知随机变量 $X$ 的分布列为

(1) 求 $E(X)$；
(2) 若 $Y = 2X - 3$,求 $E(Y)$。
【变式探究】
1. (综合变式) 本例条件不变,若 $Y = aX + 3$,且 $E(Y)= -\frac{11}{2}$,求 $a$ 的值。
2. (设问变式) 本例条件不变,求 $E(X - E(X))$ 的值。

答案：
(1)依题意,由分布列的性质得$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+m+\frac{1}{20}=1$,解得m=$\frac{1}{6}$,$E(X)=-2×\frac{1}{4}-1×\frac{1}{3}+0×\frac{1}{5}+1×\frac{1}{6}+2×\frac{1}{20}=-\frac{17}{30}$.
(2)方法一:因为Y=2X-3,所以$E(Y)=2E(X)-3=2×(-\frac{17}{30})-3=-\frac{62}{15}$.方法二:因为Y=2X-3,所以Y的分布列如下:Y -7 -5 -3 -1 1 P $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{20}$所以$E(Y)=-7×\frac{1}{4}-5×\frac{1}{3}-3×\frac{1}{5}-1×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{20}=-\frac{62}{15}$.【变式探究】1.解:由本例知$E(X)=-\frac{17}{30}$,则$E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-\frac{17}{30}a+3=-\frac{11}{2}$,所以a=15.2.解:方法一:因为$E(X)=-\frac{17}{30}$,所以$E(X-E(X))=E(X+\frac{17}{30})=E(X)+\frac{17}{30}=-\frac{17}{30}+\frac{17}{30}=0$.方法二:$E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0$.