《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

2. (多选) 下列随机变量中是离散型随机变量的是 (AD)
A.一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球,从中任取 3 个,其中所含白球的个数
B.某林场的树木最高达 30 m,则此林场中树木的高度
C.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D.某高中每年参加高考的人数

答案： AD

3. 甲、乙两人下象棋,赢了得 3 分,平局得 1 分,输了得 0 分,共下三局. 用 $\xi$ 表示甲的得分,则 $\{\xi = 3\}$ 表示 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.

答案： 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

二 离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，我们称 $X$ 取每一个值 $x_i$ 的概率 $$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,…,n$$ 为 $X$ 的概率分布列，简称分布列.

答案： P(X=x_i)=p_i,i=1,2,…,n

例 1 (对接教材例 3) 某县教育局从县直学校推荐的 6 名教师中任选 3 人去参加进修活动,这 6 名教师中,语文、数学、英语教师各 2 人. 设 $X$ 表示选出的 3 人中数学教师的人数,求 $X$ 的分布列.【解】 由题意,X的可能取值为$0,1,2. P(X=0)=\frac{C_4^3}{C_6^3}=0.2, P(X=1)=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=0.6, P(X=2)=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=0.2. $所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.6 0.2

答案： 【解】 由题意,X的可能取值为$0,1,2. P(X=0)=\frac{C_4^3}{C_6^3}=0.2, P(X=1)=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=0.6, P(X=2)=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=0.2. $所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.6 0.2

[跟踪训练 1] 某班有学生 45 人,其中 O 型血的有 10 人,A 型血的有 12 人,B 型血的有 8 人,AB 型血的有 15 人. 现从中任选 1 人,其血型为随机变量 $X$,求 $X$ 的分布列.解:将O,A,B,AB四种血型分别编号为1,2,3,4,则X的可能取值为$1,2,3,4. P(X=1)=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}, P(X=2)=\frac{12}{45}=\frac{4}{15}, P(X=3)=\frac{8}{45}, P(X=4)=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}. $故X的分布列为$ \begin{array}{c|c|c|c|c} X & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P & \frac{2}{9} & \frac{4}{15} & \frac{8}{45} & \frac{1}{3} \end{array} $

答案： 解:将O,A,B,AB四种血型分别编号为1,2,3,4,则X的可能取值为$1,2,3,4. P(X=1)=\frac{C_{10}^4}{C_{15}^4}=\frac{2}{9}, P(X=2)=\frac{C_{12}^4}{C_{15}^4}=\frac{4}{15}, P(X=3)=\frac{C_8^4}{C_{15}^4}=\frac{8}{45}, P(X=4)=\frac{C_5^4}{C_{15}^4}=\frac{1}{3}. $故X的分布列为$ X 1 2 3 4 P \frac{2}{9} \frac{4}{15} \frac{8}{45} \frac{1}{3}$

三 分布列的性质及应用
离散型随机变量的分布列的性质：
(1) $p_i\geq\underline{①}$,$i = 1,2,…,n$；
(2) $p_1 + p_2 + … + p_n= \underline{②}$.
①0 ②1

答案： ①0 ②1

例 2 (1) 设 $X$ 是一个离散随机变量,其分布列为

则实数 $q$ 的值为 (B)
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 设随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X = k)= \frac{m}{k(k + 1)}(k = 1,2,3,4,5)$,则 $P(\frac{3}{2} ＜ X ＜ \frac{7}{2})=$$\frac{3}{10}$.
【变式探究】
(设问变式) 本例 (2) 条件不变,则 $P(X\leq 4)=$$\frac{24}{25}$.

答案： $(1)B (2)\frac{3}{10} 【$变式探究$】\frac{24}{25}$