《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例1 用0,1,…,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数？
(1)四位整数；
(2)四位偶数；
(3)小于1000的无重复数字的自然数.
【变式探究】
1. (设问变式)本例的十个数字,可组成多少个小于500的无重复数字的三位整数.
2. (设问变式)本例的十个数字,可组成多少个能被5整除的无重复数字的五位整数.
[解]　(1)千位数字有9种选择，百位、十位和个位数字各有10种选择。由分步乘法计数原理知，适合题意的四位整数的个数是$9×10×10×10=9000$。
(2)由于组成偶数，所以个位数字为0,2,4,6,8五种情况，千位数字有9种选择，百位数字有10种选择，十位数字也有10种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的四位偶数的个数是$5×9×10×10=4500$。
(3)小于1000的无重复数字的自然数可以分为一位、两位、三位自然数三类。其中一位自然数：10个；两位自然数：十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的两位数的个数是$9×9=81$；三位自然数：百位数字有9种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是$9×9×8=648$。由分类加法计数原理知，适合题意的自然数的个数是$10+81+648=739$。
[变式探究]
1. 解：百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位整数的个数是$4×9×8=288$。
2. 解：依题意，个位数字为0或5。当个位数字为0时，万位数字有9种选择，千位数字有8种选择，百位数字有7种选择，十位数字有6种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的五位整数的个数是$9×8×7×6=3024$；当个位数字为5时，万位数字有8种选择，千位数字有8种选择，百位数字有7种选择，十位数字有6种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的五位整数的个数是$8×8×7×6=2688$。所以能被5整除的无重复数字的五位整数的个数共有$3024+2688=5712$。

答案： [解]　
(1)千位数字有9种选择，百位、十位和个位数字各有10种选择。由分步乘法计数原理知，适合题意的四位整数的个数是$9×10×10×10=9000$。
(2)由于组成偶数，所以个位数字为0,2,4,6,8五种情况，千位数字有9种选择，百位数字有10种选择，十位数字也有10种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的四位偶数的个数是$5×9×10×10=4500$。
(3)小于1000的无重复数字的自然数可以分为一位、两位、三位自然数三类。其中一位自然数：10个；两位自然数：十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的两位数的个数是$9×9=81$；三位自然数：百位数字有9种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是$9×9×8=648$。
由分类加法计数原理知，适合题意的自然数的个数是$10+81+648=739$。
[变式探究]
1. 解：百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位整数的个数是$4×9×8=288$。
2. 解：依题意，个位数字为0或5。
当个位数字为0时，万位数字有9种选择，千位数字有8种选择，百位数字有7种选择，十位数字有6种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的五位整数的个数是$9×8×7×6=3024$；
当个位数字为5时，万位数字有8种选择，千位数字有8种选择，百位数字有7种选择，十位数字有6种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的五位整数的个数是$8×8×7×6=2688$。
所以能被5整除的无重复数字的五位整数的个数共有$3024+2688=5712$。