《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

已知 $ \frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)} $ 与 $ \frac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})} $ 的比值为 $ R $。求证：$ R= \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} $。
因为$R=\frac {P(B|A)}{P(\overline {B}|A)}·\frac {P(\overline {B}|\overline {A})}{P(B|\overline {A})}=\frac {\frac{P(AB)}{P(A)}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(A)}}·\frac {\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{A})}}{\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}}=\frac {P(AB)}{P(A\overline{B})}·\frac {P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{A}B)}$，又因为$\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}=\frac{\frac{P(AB)}{P(B)}}{\frac{P(\overline{A}B)}{P(B)}}=\frac{P(AB)}{P(\overline{A}B)}$，$\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}=\frac{\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}}=\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(A\overline{B})}$，所以$R=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$

答案： 因为$R=\frac {P(B|A)}{P(\overline {B}|A)}·\frac {P(\overline {B}|A)}{P(\overline {B}|\overline {A})}=\frac {P(AB)}{P(A)}·\frac {P(\overline {A})}{P(\overline {A}B)}·\frac {P(A\overline {B})}{P(A)}·\frac {P(\overline {A})}{P(\overline {A}\overline {B})},$所以$R=\frac {P(AB)}{P(B)}·\frac {P(B)}{P(\overline {A}B)}·\frac {P(A\overline {B})}{P(\overline {B})}·\frac {P(\overline {B})}{P(\overline {A}\overline {B})},$所以$R=\frac {P(A|B)}{P(\overline {A}|B)}·\frac {P(A|\overline {B})}{P(\overline {A}|\overline {B})}$

1.(教材 $ P_{48}T_1 $ 改编)设 $ A,B $ 是两个随机事件,且 $ 0＜P(A)＜1,0＜P(B)＜1 $,若 $ B $ 发生时 $ A $ 必定发生,则下列结论正确的是(C)
A.$ P(A+B)= P(B) $
B.$ P(B|A)= \frac{P(A)}{P(B)} $
C.$ P(A|B)= 1 $
D.$ P(AB)= P(A) $

答案： C

2.(多选)某校开展羽毛球比赛,甲组有选手 $ 6 $ 名,其中 $ 3 $ 名男生,$ 3 $ 名女生；乙组有选手 $ 5 $ 名,其中 $ 3 $ 名男生,$ 2 $ 名女生。现从甲组随机抽取一人加入乙组,再从乙组随机抽取一人,$ A $ 表示事件“从甲组随机抽取的一人是女生”,$ B $ 表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”,则(AC)
A.$ P(B|A)= \frac{1}{2} $
B.$ P(\overline{B}|A)= \frac{1}{3} $
C.$ P(B|\overline{A})= \frac{2}{3} $
D.$ P(\overline{B}|\overline{A})= \frac{2}{3} $

答案： AC

3. 已知事件 $ A $ 和 $ B $ 是互斥事件,$ P(C)= \frac{1}{6} $,$ P(BC)= \frac{1}{18} $,$ P(A\cup B|C)= \frac{8}{9} $,则 $ P(A|C)= $ $\frac {5}{9}$。

答案： $\frac {5}{9}$

4. 盒中有 $ 4 $ 个质地、形状完全相同的小球,其中有 $ 1 $ 个红球,$ 1 $ 个绿球,$ 2 $ 个黄球。现从盒中随机取球,每次取 $ 1 $ 个,不放回,直到取出红球为止。求在此过程中没有取到黄球的概率。
没有取到黄球,可以是"第一次取到红球"或"第一次取到绿球,第二次取到红球"记事件$R_{1}$表示第一次取到红球$,R_{2}$表示第二次取到红球$,G_{1}$表示第一次取到绿球,则$P(R_{1})=\frac {1}{4},P(G_{1}R_{2})=P(G_{1})·P(R_{2}$|$G_{1})=\frac {1}{4}×\frac {1}{3}=\frac {1}{12},$所以没有取到黄球的概率为$P=\frac {1}{4}+\frac {1}{12}=\frac {1}{3}$

答案： 没有取到黄球,可以是"第一次取到红球"或"第一次取到绿球,第二次取到红球"记事件$R_{1}$表示第一次取到红球$,R_{2}$表示第二次取到红球$,G_{1}$表示第一次取到绿球,则$P(R_{1})=\frac {1}{4},P(G_{1}R_{2})=P(G_{1})·P(R_{2}$|$G_{1})=\frac {1}{4}×\frac {1}{3}=\frac {1}{12},$所以没有取到黄球的概率为$P=\frac {1}{4}+\frac {1}{12}=\frac {1}{3}$