《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机抽取两瓶,若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色,求另一瓶是红色或黑色的概率。
$\frac{6}{7}$

答案： 设事件A为"其中一瓶是蓝色",事件B为"另一瓶是红色",事件C为"另一瓶是黑色",事件D为"另一瓶是红色或黑色",则$D=B\cup C,$且B与C互斥,易求得$P(A)=\frac {C_{2}^{1}C_{3}^{1}+C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}=\frac {7}{10},P(AB)=\frac {C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac {1}{5},P(AC)=\frac {C_{2}^{1}C_{2}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac {2}{5},$故P(D|$A)=P(B\cup C$|A)=P(B|A)+P(C|$A)=\frac {P(AB)}{P(A)}+\frac {P(AC)}{P(A)}=\frac {6}{7},$即取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色,另一瓶是红色或黑色的概率为$\frac {6}{7}$

例3
当 $ 0＜P(A)＜1 $ 时,求证：$ P(B|A)= P(B) $ 的充要条件是 $ P(B|\overline{A})= P(B) $。
①必要性:若P(B|A)=P(B),则$\frac {P(AB)}{P(A)}=P(B),$即P(AB)=P(A)P(B),又因为$B=\overline {A}B+AB,$所以$P(B)=P(\overline {A}B)+P(AB),$所以P(B|$\overline {A})=\frac {P(\overline {A}B)}{P(\overline {A})}=\frac {P(B)-P(AB)}{P(\overline {A})}=\frac {P(B)-P(A)P(B)}{P(\overline {A})}=\frac {(1-P(A))P(B)}{P(\overline {A})}=P(B).②$充分性:若P(B|$\overline {A})=P(B),$则$\frac {P(\overline {A}B)}{P(\overline {A})}=P(B),$即$P(\overline {A}B)=P(\overline {A})P(B),$由$P(B)=P(\overline {A}B)+P(AB),$得$P(\overline {A}B)=P(B)-P(AB),$故P(B)-P(AB)=(1-P(A))P(B),所以P(AB)=P(A)P(B),所以P(A)P(B|A)=P(A)P(B),又P(A)≠0,所以P(B|A)=P(B),由①②可知,P(B|A)=P(B)的充要条件是P(B|$\overline {A})=P(B)$

答案： ①必要性:若P(B|A)=P(B),则$\frac {P(AB)}{P(A)}=P(B),$即P(AB)=P(A)P(B),又因为$B=\overline {A}B+AB,$所以$P(B)=P(\overline {A}B)+P(AB),$所以P(B|$\overline {A})=\frac {P(\overline {A}B)}{P(\overline {A})}=\frac {P(B)-P(AB)}{P(\overline {A})}=\frac {P(B)-P(A)P(B)}{P(\overline {A})}=\frac {(1-P(A))P(B)}{P(\overline {A})}=P(B).②$充分性:若P(B|$\overline {A})=P(B),$则$\frac {P(\overline {A}B)}{P(\overline {A})}=P(B),$即$P(\overline {A}B)=P(\overline {A})P(B),$由$P(B)=P(\overline {A}B)+P(AB),$得$P(\overline {A}B)=P(B)-P(AB),$故P(B)-P(AB)=(1-P(A))P(B),所以P(AB)=P(A)P(B),所以P(A)P(B|A)=P(A)P(B),又P(A)≠0,所以P(B|A)=P(B),由①②可知,P(B|A)=P(B)的充要条件是P(B|$\overline {A})=P(B)$