《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

我们已经学习：若事件 $ A $ 与事件 $ B $ 相互独立,则 $ P(AB)= P(A)P(B) $。请思考下列问题：
思考1
已知 $ P(B|A)= P(B) $,事件 $ A $ 与事件 $ B $ 相互独立吗？
思考2
已知 $ P(B|A)\neq P(B) $,如何求 $ P(AB) $？
思考1 提示:相互独立,因为P(B|A)=P(B),所以$\frac {P(AB)}{P(A)}=P(B),$所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A与事件B相互独立.思考2 提示:由P(B|$A)=\frac {P(AB)}{P(A)},$可得:P(AB)=P(A)P(B|A).

答案： 思考1 提示:相互独立,因为P(B|A)=P(B),所以$\frac {P(AB)}{P(A)}=P(B),$所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A与事件B相互独立.思考2 提示:由P(B|$A)=\frac {P(AB)}{P(A)},$可得:P(AB)=P(A)P(B|A).

一 概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件 $ A $ 与 $ B $，若 $ P(A)＞0 $，则 $ P(AB)= $ P(A)P(B|A)。

答案： P(A)P(B|A)

例1
(1)某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好去试拨,他第一次失败、第二次成功的概率是(A)
A. $ \frac{1}{10} $
B. $ \frac{1}{5} $
C. $ \frac{4}{5} $
D. $ \frac{3}{10} $

答案： A

(2)有一批种子的发芽率为 $ 0.9 $,出芽后的幼苗成活率为 $ 0.8 $,在这批种子中,随机抽取 $ 1 $ 粒,则这粒种子能长成幼苗的概率为 0.72。

答案： 0.72

气象资料表明,某地区每年七月份刮台风的概率为 $ \frac{3}{5} $,在刮台风的条件下,下大雨的概率为 $ \frac{9}{10} $,则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为(B)
A.$ \frac{2}{3} $
B.$ \frac{27}{50} $
C.$ \frac{9}{10} $
D.$ \frac{3}{10} $

答案： B

二 条件概率的性质
设 $ P(A)＞0 $,则
(1)$ P(\Omega|A)= $1；
(2)如果 $ B $ 和 $ C $ 是两个互斥事件,则 $ P(B\cup C|A)= $P(B|A)+P(C|A)；
(3)设 $ \overline{B} $ 和 $ B $ 互为对立事件,则 $ P(\overline{B}|A)= $1-P(B|A)。

答案：
(1)1；
(2)P(B|A)+P(C|A)；
(3)1-P(B|A)

例2
(对接教材例3)银行储蓄卡的密码由 6 位数字组成。某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后 1 位数字,求：
(1)任意按最后 1 位数字,不超过 3 次就按对的概率；
(2)如果记得密码的最后 1 位是偶数,不超过 3 次就按对的概率。
(1)设$A_{i}(i=1,2,3)$表示第i次按对密码,A表示不超过3次就按对密码,则有$A=A_{1}\cup \overline {A}_{1}A_{2}\cup \overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3},$因为事件$A_{1},\overline {A}_{1}A_{2},\overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3}$两两互斥,由概率的加法公式和乘法公式可得$,P(A)=P(A_{1}\cup \overline {A}_{1}A_{2}\cup \overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3})=P(A_{1})+P(\overline {A}_{1}A_{2})+P(\overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3})=P(A_{1})+P(\overline {A}_{1})P(A_{2}$|$\overline {A}_{1})+P(\overline {A}_{1}\overline {A}_{2})P(A_{3}$|$\overline {A}_{1}\overline {A}_{2})=\frac {1}{10}+\frac {9}{10}×\frac {1}{9}+\frac {9}{10}×\frac {8}{9}×\frac {1}{8}=\frac {3}{10}.(2)$记事件B表示最后1位密码是偶数,则P(A|$B)=P(A_{1}\cup \overline {A}_{1}A_{2}\cup \overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3}$|$B)=P(A_{1}$|$B)+P(\overline {A}_{1}A_{2}$|$B)+P(\overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3}$|$B)=\frac {1}{5}+\frac {4×1}{5×4}+\frac {4×3×1}{5×4×3}=\frac {3}{5}$

答案：
(1)设$A_{i}(i=1,2,3)$表示第i次按对密码,A表示不超过3次就按对密码,则有$A=A_{1}\cup \overline {A}_{1}A_{2}\cup \overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3},$因为事件$A_{1},\overline {A}_{1}A_{2},\overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3}$两两互斥,由概率的加法公式和乘法公式可得$,P(A)=P(A_{1}\cup \overline {A}_{1}A_{2}\cup \overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3})=P(A_{1})+P(\overline {A}_{1}A_{2})+P(\overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3})=P(A_{1})+P(\overline {A}_{1})P(A_{2}$|$\overline {A}_{1})+P(\overline {A}_{1}\overline {A}_{2})P(A_{3}$|$\overline {A}_{1}\overline {A}_{2})=\frac {1}{10}+\frac {9}{10}×\frac {1}{9}+\frac {9}{10}×\frac {8}{9}×\frac {1}{8}=\frac {3}{10}.(2)$记事件B表示最后1位密码是偶数,则P(A|$B)=P(A_{1}\cup \overline {A}_{1}A_{2}\cup \overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3}$|$B)=P(A_{1}$|$B)+P(\overline {A}_{1}A_{2}$|$B)+P(\overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3}$|$B)=\frac {1}{5}+\frac {4×1}{5×4}+\frac {4×3×1}{5×4×3}=\frac {3}{5}$