《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例1 (对接教材例1)现有$6$个节目准备参加比赛,其中$4$个舞蹈节目,$2$个语言类节目,如果不放回地依次抽取$2$个节目,求：
(1)第$1$次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第$1次和第2$次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第$1$次抽到舞蹈节目的条件下,第$2$次抽到舞蹈节目的概率。
【变式探究】
(设问变式)本例条件不变,试求在第$1$次抽到舞蹈节目的条件下,第$2$次抽到语言类节目的概率。
【解】 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，试验的样本空间Ω包含的样本点数n(Ω)=${A}_{6}^{2}$=30.根据分步乘法计数原理，得n(A)=${A}_{4}^{1}{A}_{5}^{1}$=20，所以P(A)=$\frac{n(A)}{n(\varOmega )}$=$\frac{20}{30}$=$\frac{2}{3}$.
(2)因为n(AB)=${A}_{4}^{2}$=12，所以P(AB)=$\frac{n(AB)}{n(\varOmega )}$=$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$.
(3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{5}$.
【变式探究】
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC.则P(A)=$\frac{2}{3}$，P(AC)=$\frac{4×2}{6×5}$=$\frac{4}{15}$，所以P(C|A)=$\frac{P(AC)}{P(A)}$=$\frac{2}{5}$.

答案： 【解】 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，试验的样本空间Ω包含的样本点数n(Ω)=${A}_{6}^{2}$=30.根据分步乘法计数原理，得n(A)=${A}_{4}^{1}{A}_{5}^{1}$=20，所以P(A)=$\frac{n(A)}{n(\varOmega )}$=$\frac{20}{30}$=$\frac{2}{3}$.
(2)因为n(AB)=${A}_{4}^{2}$=12，所以P(AB)=$\frac{n(AB)}{n(\varOmega )}$=$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$.
(3)由
(1)
(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{5}$.【变式探究】解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC.则P(A)=$\frac{2}{3}$，P(AC)=$\frac{4×2}{6×5}$=$\frac{4}{15}$，所以P(C|A)=$\frac{P(AC)}{P(A)}$=$\frac{2}{5}$.

(1)已知某班级中,喜欢文学阅读的学生占$75\%$,喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占$30\%$。若从这个班级的学生中任意抽取一人,则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下,该学生也喜欢科普阅读的概率为(C)
A.$22.5\%$
B.$30\%$
C.$40\%$
D.$75\%$

答案： C

(2)抛掷红、蓝两枚骰子,记事件$A$为“蓝色骰子的点数为$4或6$”,事件$B$为“两枚骰子的点数之和大于$8$”,则$P(B|A)=$$\frac{1}{2}$；$P(A|B)=$$\frac{3}{5}$。

答案： $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{5}$