《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

训练1 从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个,则这3个数的乘积能被12整除的取法有(A)
A.7种
B.8种
C.9种
D.10种

答案： 解析:选 A. 由题意,取出来的 3 个数一定含有 3,4 或 2,6 或 4,6,当取出来的 3 个数含有 3,4 时,则有$C_{3}^{1}=3$种;当取出来的 3 个数含有 2,6 时,则有$C_{3}^{1}=3$种;当取出来的 3 个数含有 4,6 时,有(2,4,6),(3,4,6),(4,5,6)共 3 种,其中(2,4,6),(3,4,6)在前两种情况中已经出现,所以这 3 个数的乘积能被 12 整除的取法有$3+3+3-2=7$(种).故选 A.

训练2 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种,这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种,则(a,b)为(C)
$A.(3^4,3^4)$
$B.(4^3,3^4)$
$C.(3^4,4^3)$

$D.(A_4^3,A_4^3)$

答案： 解析:选 C. 由题意知,每名学生报名参加课外活动都有 3 种选择,根据分步乘法计数原理知,4 名学生共有$3^{4}$种选择;每项冠军都有 4 种可能结果,根据分步乘法计数原理知,3 项冠军共有$4^{3}$种可能结果.故选 C.

训练3 如图,对“田”字型的四个格子进行染色。每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种,每个格子只染一种颜色,且相邻的格子不能都染红色,则满足要求的染色方法有56种。(用数字作答)

答案： 解析:若 4 个格子中没有一格染红色,每格都染成黄或蓝,有$2^{4}=16$种不同的染法;若 4 个格子中恰有一格染红色,4 格中选一格染红,其余 3 格染黄或蓝,有$4×2^{3}=32$种不同的染法;若 4 个格子中恰有两格染红,有 2 种情况,其余 2 格染黄或蓝,有$2×2^{2}=8$种不同的染法.由分类加法计数原理可知共有$16+32+8=56$种不同的染法.
答案:56

训练4 某次乒乓球团体赛为五场三胜制,第一、二、四、五场为单打,第三场为双打,每支队伍有3名队员,每名队员出场2次,则每支队伍不同的出场安排种数为(C)
A.18
B.27
C.36
D.45

答案： 解析:选 C. 先从 3 人中选出 2 人参加第三场双打,有$C_{3}^{2}$种选法;这 2 人除双打外的另外四场中各选一场单打,剩余一人参加剩余的两场单打,有$A_{4}^{2}$种出场安排方法,所以由分步乘法计数原理知共有$C_{3}^{2}×A_{4}^{2}=36$种不同的出场安排.故选 C.

训练5(多选)某学校举行校园歌手大赛,共有4名男生,3名女生参加,组委会对他们的出场顺序进行安排,则下列说法正确的是(BCD)
A.若3个女生不相邻,则有144种不同的出场顺序
B.若女生甲在女生乙的前面,则有2520种不同的出场顺序
C.若4位男生相邻,则有576种不同的出场顺序
D.若学生的出场顺序已确定,再增加两位教师,两位教师共有72种不同的出场顺序

答案： 解析:选 BCD. 若 3 个女生不相邻,则有$A_{4}^{4}A_{5}^{3}=1440$种不同的出场顺序,A 错误;若女生甲在女生乙的前面,则有$\frac {1}{2}A_{7}^{7}=2520$种不同的出场顺序,B 正确;若 4 位男生相邻,则有$A_{4}^{4}A_{4}^{4}=576$种不同的出场顺序,C 正确;若学生的出场顺序确定,再增加两位教师,可分为两步,第一步,原 7 个学生形成 8 个空,插入 1 位教师,有 8 种情况;第二步,原 7 个学生和刚插入的 1 位教师形成 9 个空,再插入 1 位教师,有 9 种情况,所以这两位教师共有$8×9=72$种不同的出场顺序,D 正确.故选 BCD.

训练6 甲、乙等6人去A,B,C三个不同的景区游览,每个人去一个景区,每个景区都有人游览,若甲、乙两人不去同一景区游览,则不同的游览方法的种数为390。

答案： 解析:由题意得,三个景区的人数有 3 种情况:①1,1,4 型,则不同种数为$(C_{6}^{4}-C_{3}^{1})A_{3}^{3}=54$;②1,2,3 型,则不同种数为$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}A_{3}^{3}-C_{3}^{1}A_{3}^{3}=264$;③2,2,2 型,则不同种数为$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}-\frac {C_{6}^{2}C_{4}^{2}}{2!}A_{3}^{3}=72$.所以共有$54+264+72=390$种.
答案:390

训练7(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为______$\frac{1}{2}$。

答案： 解析:由对称性,不妨固定乙出卡片顺序依次为(2,4,6,8),为了简便,设甲依次出$(a,b,c,d),a,b,c,d∈\{ 1,3,5,7\}$.首先注意到 8 是最大的,故甲不可能得四分.若甲得三分,则从 a 到 c 均要求得分,比较得必有$a=3,b=5,c=7,d=1$一种情况;若甲得两分,则讨论在何处得分:①若在 b,c 处,则同样$c=7,b=5$,进而有$d=1,a≠1,b≠5$;②若在 a,c 两处,则必有$c=7,a=3$,共一种;若在 1, a 时有,则在 d=1 时仅一种,共三种;③若在 a,b 处,则$b∈\{ 5,7\} ,a≠1,c≠7$.当$b=5$时,由上述限制,$c=1$时有两种,$d=1$时有一种;当$b=7$时,a,c,d 全排列的六种中仅$a=1$的两种不行,故有四种,此情共七种.故甲的总得分不小于 2 共有$1+1+3+7=12$种情形,又$(a,b,c,d)$总的可能数为$A_{4}^{4}=24$,故所求的概率为$\frac {12}{24}=\frac {1}{2}$.
答案:$\frac {1}{2}$