《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

典例 1
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家,其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开后的二项式系数构成的三角形数阵(如图所示),称做“开方作法本源”,现简称为“杨辉三角”,比西方的“帕斯卡三角形”早了 600 多年,若从第 0 行开始,用 $A_{(m,n)}$ 表示三角形数阵中的第 $m$ 行第 $n$ 个数,则 $A_{(101,3)}= $5050.(结果用数字作答)

答案： 5050

典例 2
在“杨辉三角”中,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行如图所示. 那么,在“杨辉三角”中,第62行会出现三个相邻的数,其比为 $3:4:5$.

答案： 62

典例 3
杨辉三角(如图所示)是数学史上的一个伟大成就,杨辉三角中从第 2 行到第 2024 行,每行的第 3 个数字之和为(B)

A.$\mathrm{C}_{2024}^{3}$
B.$\mathrm{C}_{2025}^{3}$
C.$\mathrm{C}_{2024}^{3} - 1$
D.$\mathrm{C}_{2025}^{3} - 1$

答案： B

1. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记 $a_{n}$ 为图中所选数 $1,1,2,3,6,10,20,…$ 构成的数列 $\{ a_{n}\}$ 的第 $n$ 项,则 $a_{12}$ 的值为(C)

A.252
B.426
C.462
D.924

答案： C

2. 将杨辉三角中的每一个数 $\mathrm{C}_{n}^{r}$ 都换成 $\frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_{n}^{r}}$,得到如图所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形. 莱布尼茨三角形具有很多优美的性质,如从第 0 行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和,如果 $n \geq 2$($n$ 为正整数),那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的是(C)

①当 $n$ 是偶数时,中间的一项取得最大值；当 $n$ 是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值；②第 8 行第 2 个数是 $\frac{1}{72}$；③ $\frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_{n}^{r}} = \frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_{n}^{n - r}}(r \in \mathbf{N},0 \leq r \leq n)$.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： C