《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

已知 $x^7 = a_0 + a_1(x + 1) + a_2(x + 1)^2 + … + a_7(x + 1)^7$。求：
(1) $a_1 + a_2 + a_3 + … + a_7$；
(2) $a_1 + a_3 + a_5 + a_7$。
(1)由题可得，令$x=-1$，则$a_{0}=-1$，令$x=0$，则$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=0$，所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{7}=(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7})-a_{0}=1$.
(2)令$x=-2$，则$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}+a_{6}-a_{7}=(-2)^{7}=-128$，因为$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=0$，两式相减，可得$2(a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7})=128$，所以$a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}=64$.

答案：
(1)由题可得，令$x=-1$，则$a_{0}=-1$，令$x=0$，则$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=0$，所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{7}=(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7})-a_{0}=1$.
(2)令$x=-2$，则$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}+a_{6}-a_{7}=(-2)^{7}=-128$，因为$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=0$，两式相减，可得$2(a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7})=128$，所以$a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}=64$.

1.(教材 $P_{34}$ 练习 $T_1$ 改编)已知 $\mathrm{C}_n^0 + 2\mathrm{C}_n^1 + 2^2\mathrm{C}_n^2 + 2^3\mathrm{C}_n^3 + … + 2^n\mathrm{C}_n^n = 243$,则 $\mathrm{C}_n^1 + \mathrm{C}_n^2 + \mathrm{C}_n^3 + … + \mathrm{C}_n^n = $(A)
A.$31$
B.$32$
C.$15$
D.$16$

答案： A

2.(多选)下列关于 $(1 - \sqrt{x})^{10}$ 的说法,正确的是(AD)
A.展开式的各二项式系数之和是 $1024$
B.展开式各项系数之和是 $1024$
C.展开式的第 $5$ 项的二项式系数最大
D.展开式的第 $3$ 项为 $45x$

答案： AD

3.(2024·全国甲卷)$(\frac{1}{3} + x)^{10}$ 的展开式中,各项系数中的最大值为5。

答案： 5

4.(教材 $P_{38}T_{3(5)}$ 改编)已知对任意给定的实数 $x$,都有 $(1 - 2x)^{100} = a_0 + a_1(x + 1) + a_2(x + 1)^2 + … + a_{100}(x + 1)^{100}$。求值：
(1) $a_0 + a_1 + a_2 + … + a_{100}=$1；
(2) $a_1 + a_3 + a_5 + … + a_{99}=$$\frac{1 - 5^{100}}{2}$。

答案：
(1)因为$(1-2x)^{100}=a_{0}+a_{1}(x+1)+a_{2}(x+1)^{2}+\cdots+a_{100}(x+1)^{100}$，令$x=0$，则$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}=1$.
(2)令$x=-2$，则$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots+a_{100}=(-2×(-2)-1)^{100}=5^{100}$，①由
(1)知$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}=1$，②由$\frac{②-①}{2}$可得$a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{99}=\frac{1-5^{100}}{2}$.