《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例 3
已知 $(1 - x)^9 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_9x^9$。
(1) 求 $a_1 + a_2 + a_3 + … + a_9$ 的值；
(2) 求 $a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8$ 的值。
【变式探究】
1.(设问变式)求 $|a_0| + |a_1| + |a_2| + … + |a_9|$ 的值。
2.(设问变式)求 $a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \frac{a_3}{2^3} + … + \frac{a_9}{2^9}$ 的值。

答案：
(1)因为$(1-x)^{9}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{9}x^{9}$.令$x=0$，则$a_{0}=1$，令$x=1$，则$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{9}=0$，①所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{9}=-1$.
(2)令$x=-1$，则$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots-a_{9}=2^{9}=512$，②①+②得$2(a_{0}+a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8})=512$，所以$a_{0}+a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}=256$.
【变式探究】
1.解:由二项展开式定理可知，$a_{1},a_{3},a_{5},a_{7},a_{9}$为负数，$a_{0},a_{2},a_{4},a_{6},a_{8}$为正数，令$x=-1$，得$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots-a_{9}=2^{9}=512$，则$|a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots+|a_{9}|=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots-a_{9}=2^{9}=512$.
2.解:令$x=\frac{1}{2}$，$a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+\cdots+\frac{a_{9}}{2^{9}}=\left(1-\frac{1}{2}\right)^{9}=\frac{1}{512}$.