《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

4. 已知二项式 $(\sqrt{x} - \frac{1}{x})^n$ 的展开式中第 3 项的二项式系数为 15. 求：
(1) $n$；
(2) 展开式中的常数项.
(1)由题意得,$C_{n}^{2}=15$,即$\frac{n(n-1)}{2}=15$,化简得$n^{2}-n-30=0$,解得$n=6$或$n=-5$(舍去),所以$n=6$.
(2)由二项展开式的通项得$T_{r+1}=C_{6}^{r}(\sqrt{x})^{6-r}(-\frac{1}{x})^{r}=(-1)^{r}C_{6}^{r}x^{\frac{6-3r}{2}}$,因为$0\leqslant r\leqslant6$,$r\in\mathbf{N}$,令$\frac{6-3r}{2}=0$,得$r=2$,所以常数项为$T_{3}=(-1)^{2}C_{6}^{2}=15$.

答案：
(1)由题意得,$C_{n}^{2}=15$,即$\frac{n(n-1)}{2}=15$,化简得$n^{2}-n-30=0$,解得$n=6$或$n=-5$(舍去),所以$n=6$.
(2)由二项展开式的通项得$T_{r+1}=C_{6}^{r}(\sqrt{x})^{6-r}(-\frac{1}{x})^{r}=(-1)^{r}C_{6}^{r}x^{\frac{6-3r}{2}}$,因为$0\leqslant r\leqslant6$,$r\in\mathbf{N}$,令$\frac{6-3r}{2}=0$,得$r=2$,所以常数项为$T_{3}=(-1)^{2}C_{6}^{2}=15$.

$(a + b)^n$ 展开式的二项式系数 $\mathrm{C}_n^0, \mathrm{C}_n^1, \mathrm{C}_n^2, …, \mathrm{C}_n^n$ 可表示成如下形式,
$(a + b)^1$ ………………………… 1 1
$(a + b)^2$ ………………………… 1 2 1
$(a + b)^3$ ………………………… 1 3 3 1
$(a + b)^4$ ………………………… 1 4 6 4 1
$(a + b)^5$ ………………………… 1 5 10 10 5 1
思考 1
上述表格最显著的特点是什么？
(1)从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.(2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
思考 2
每一行中,与首末等距离的二项式系数有怎样的关系？
相等.
思考 3
当 $n = 6$ 时,你能否写出展开式的二项式系数？
1,6,15,20,15,6,1.

答案： 思考 1 提示:
(1)从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.
(2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.思考 2 提示:相等.思考 3 提示:分别是1,6,15,20,15,6,1.

一 二项式系数的性质
1. 对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。
事实上,这一性质可直接由①$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$得到。直线②$r=\frac{n}{2}$将函数 $f(r) = \mathrm{C}_n^r$ 的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴。
2. 增减性与最大值
(1) 当 $k ＜ \frac{n + 1}{2}$ 时,$\mathrm{C}_n^k$ 随 $k$ 的增加而③增大。
由对称性知,二项式系数的后半部分,$\mathrm{C}_n^k$ 随 $k$ 的增加而④减小。
(2) 当 $n$ 是偶数时,中间的一项⑤$C_{n}^{\frac{n}{2}}$取得最大值；当 $n$ 是奇数时,中间的两项⑥$C_{n}^{\frac{n-1}{2}}$与⑦$C_{n}^{\frac{n+1}{2}}$相等,且同时取得最大值。
3. 各二项式系数的和
(1) $\mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^1 + \mathrm{C}_n^2 + … + \mathrm{C}_n^n = $⑧$2^{n}$。
(2) $\mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^2 + \mathrm{C}_n^4 + … = \mathrm{C}_n^1 + \mathrm{C}_n^3 + \mathrm{C}_n^5 + … = 2^{n - 1}$。

答案： ①$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$ ②$r=\frac{n}{2}$ ③增大 ④减小 ⑤$C_{n}^{\frac{n}{2}}$ ⑥$C_{n}^{\frac{n-1}{2}}$ ⑦$C_{n}^{\frac{n+1}{2}}$ ⑧$2^{n}$