《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

三 二项式系数与项的系数
例 2 已知二项式 $(2 - \sqrt{x})^n$ 的展开式中共有 10 项.
(1) 求展开式的第 6 项的二项式系数；
(2) (对接教材例 2(2))求展开式中含 $x^4$ 的项的系数.
(1)因为二项式的展开式中共有10项,所以$n=9$,所以第6项的二项式系数为$C_{9}^{5}=126$.
(2)由(1)知$n=9$,所以展开式的通项为$T_{k+1}=C_{9}^{k}2^{9-k}(-\sqrt{x})^{k}=C_{9}^{k}2^{9-k}(-1)^{k}x^{\frac{k}{2}}$.其中$k=0,1,2,\cdots,9$.取$\frac{k}{2}=4$,解得$k=8$,所以$T_{9}=C_{9}^{8}2^{1}(-1)^{8}x^{\frac{8}{2}}=18x^{4}$,故展开式中含$x^{4}$的项的系数是18.

答案：
(1)因为二项式的展开式中共有10项,所以$n=9$,所以第6项的二项式系数为$C_{9}^{5}=126$.
(2)由
(1)知$n=9$,所以展开式的通项为$T_{k+1}=C_{9}^{k}2^{9-k}(-\sqrt{x})^{k}=C_{9}^{k}2^{9-k}(-1)^{k}x^{\frac{k}{2}}$.其中$k=0,1,2,\cdots,9$.取$\frac{k}{2}=4$,解得$k=8$,所以$T_{9}=C_{9}^{8}2^{1}(-1)^{8}x^{\frac{8}{2}}=18x^{4}$,故展开式中含$x^{4}$的项的系数是18.

已知 $n \in \mathbf{N}^*$,二项式 $(\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt[4]{x}})^n$. 若该二项展开式的第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,求展开式中 $x^2$ 的系数.
解:因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,所以$C_{n}^{3}=C_{n}^{7}$,解得$n=10$,则展开式的通项为$T_{k+1}=C_{10}^{k}(\sqrt{x})^{10-k}(\frac{1}{2\sqrt[4]{x}})^{k}=C_{10}^{k}(\frac{1}{2})^{k}x^{\frac{10-k}{2}}x^{-\frac{k}{4}}=C_{10}^{k}(\frac{1}{2})^{k}x^{\frac{20-3k}{4}}$,其中$k=0,1,2,\cdots,10$.令$\frac{20-3k}{4}=2$,解得$k=4$,代入通项得$T_{5}=C_{10}^{4}(\frac{1}{2})^{4}x^{2}=\frac{105}{8}x^{2}$,所以$x^{2}$的系数为$\frac{105}{8}$.

答案： 解:因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,所以$C_{n}^{3}=C_{n}^{7}$,解得$n=10$,则展开式的通项为$T_{k+1}=C_{10}^{k}(\sqrt{x})^{10-k}(\frac{1}{2\sqrt{x}})^{k}=C_{10}^{k}(\frac{1}{2})^{k}x^{\frac{10-k}{2}}x^{-\frac{k}{4}}=C_{10}^{k}(\frac{1}{2})^{k}x^{\frac{20-3k}{4}}$,其中$k=0,1,2,\cdots,10$.令$\frac{20-3k}{4}=2$,解得$k=4$,代入通项得$T_{5}=C_{10}^{4}(\frac{1}{2})^{4}x^{2}=\frac{105}{8}x^{2}$,所以$x^{2}$的系数为$\frac{105}{8}$.

1. (教材 $\mathrm{P}_{31} \mathrm{~T}_2$ 改编)二项式 $(x^2 - \frac{2}{x^3})^6$ 的展开式中的第 4 项为 (A)
A.$ - \frac{160}{x^3}$
B.$\frac{240}{x^8}$
C.$\frac{60}{x^2}$
D.$-160$

答案： A

2. (多选)对于二项式 $(\frac{1}{x} + x^3)^n (n \in \mathbf{N}^*)$,以下判断正确的有 (AD)
A.存在 $n \in \mathbf{N}^*$,展开式中有常数项
B.对任意 $n \in \mathbf{N}^*$,展开式中没有常数项
C.对任意 $n \in \mathbf{N}^*$,展开式中没有 $x$ 的一次项
D.存在 $n \in \mathbf{N}^*$,展开式中有 $x$ 的一次项

答案： AD

3. (教材 $\mathrm{P}_{31} \mathrm{~T}_4$ 改编) $(x - a)^7$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 560,则实数 $a$ 的值为±2.

答案： ±2