《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例 1 在 $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}})^7$ 的展开式中,求：
(1) 第 5 项；
(2) 含 $x^2$ 的项.
【变式探究】
1. (设问变式)本例条件不变,求展开式中的有理项.
2. (设问变式)本例条件不变,展开式中是否存在常数项？如果存在,求出常数项；如果不存在,请说明理由.
(1)$(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{7}$的展开式的通项为$T_{k+1}=C_{7}^{k}(\sqrt{x})^{7-k}(-\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{k}=(-1)^{k}C_{7}^{k}x^{\frac{14-3k}{4}}$,$k=0,1,\cdots,7$,$T_{5}=(-1)^{4}C_{7}^{4}x^{\frac{1}{2}}=35x^{\frac{1}{2}}$.
(2)令$\frac{14-3k}{4}=2$,解得$k=2$,所以展开式中含$x^{2}$的项为$(-1)^{2}C_{7}^{2}x^{2}=21x^{2}$.
[变式探究]
1.解:由本例(1)解析的通项可知,当且仅当$\frac{14-3k}{4}$为整数时,$T_{k+1}$为有理项,因为$0\leqslant k\leqslant7$,$k\in\mathbf{N}$,所以$k=2,6$,即展开式中的有理项共2项,它们分别是$T_{3}=(-1)^{2}C_{7}^{2}x^{2}=21x^{2}$,$T_{7}=(-1)^{6}C_{7}^{6}x^{-1}=7x^{-1}$.
2.解:若$T_{k+1}$为常数项,当且仅当$\frac{14-3k}{4}=0$,即$k=\frac{14}{3}$,与$0\leqslant k\leqslant7$,$k\in\mathbf{N}$矛盾,所以展开式中不存在常数项.

答案：
(1)$(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^{7}$的展开式的通项为$T_{k+1}=C_{7}^{k}(\sqrt{x})^{7-k}(-\frac{1}{\sqrt{x}})^{k}=(-1)^{k}C_{7}^{k}x^{\frac{14-3k}{4}}$,$k=0,1,\cdots,7$,$T_{5}=(-1)^{4}C_{7}^{4}x^{\frac{1}{2}}=35x^{\frac{1}{2}}$.
(2)令$\frac{14-3k}{4}=2$,解得$k=2$,所以展开式中含$x^{2}$的项为$(-1)^{2}C_{7}^{2}x^{2}=21x^{2}$.
[变式探究]
1.解:由本例
(1)解析的通项可知,当且仅当$\frac{14-3k}{4}$为整数时,$T_{k+1}$为有理项,因为$0\leqslant k\leqslant7$,$k\in\mathbf{N}$,所以$k=2,6$,即展开式中的有理项共2项,它们分别是$T_{3}=(-1)^{2}C_{7}^{2}x^{2}=21x^{2}$,$T_{7}=(-1)^{6}C_{7}^{6}x^{-1}=7x^{-1}$.
2.解:若$T_{k+1}$为常数项,当且仅当$\frac{14-3k}{4}=0$,即$k=\frac{14}{3}$,与$0\leqslant k\leqslant7$,$k\in\mathbf{N}$矛盾,所以展开式中不存在常数项.

(1) 在 $(x^2 - \frac{2}{x})^n$ 的展开式中,第 5 项为常数项,则 $n = $ (B)
A.8
B.6
C.7
D.10

答案： B

(2) 在二项式 $(\sqrt{x} - \frac{1}{x})^6$ 的展开式中,第 3 项为15,有理项的个数是4.

答案： 15 4