《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

[跟踪训练 1] 甲、乙、丙、丁 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛.
(1) 每人限报一科,有多少种不同的报名方法？
(2) 若这 4 名学生争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果？
解:
(1)4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,可分4步完成,每一步有一名学生选报,有3种选法,故共有3×3×3×3=3⁴=81种不同的报名方法.
(2)4名学生争夺数学、物理、化学竞赛冠军,每项冠军都被4名同学中的其中一名获得,故有4种可能,因此共有4×4×4=4³=64种不同的结果.

答案： 解:
(1)4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,可分4步完成,每一步有一名学生选报,有3种选法,故共有3×3×3×3=3⁴=81种不同的报名方法.
(2)4名学生争夺数学、物理、化学竞赛冠军,每项冠军都被4名同学中的其中一名获得,故有4种可能,因此共有4×4×4=4³=64种不同的结果.

三 两个计数原理的简单应用
例 2 (对接教材例 3)某单位职工义务献血,在身体检查合格的职工中,是 O 型血的共有 28 人,是 A 型血的共有 7 人,是 B 型血的共有 9 人,是 AB 型血的共有 3 人.
(1) 从中任选 1 人去献血,有多少种不同的选法？
(2) 从 4 种血型的人中各选 1 人去献血,有多少种不同的选法？
【变式探究】
(综合变式)本例变为：在身体检查合格的职工中任选 2 人去献血,血型不同的选法有多少种？
【解】
(1)分四类:
从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
任选1人去献血,用分类加法计数原理,得28+7+9+3=47种不同的选法.
(2)分四步:
要从4种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,"各选1人去献血"的事情才算完成,所以用分步乘法计数原理,得28×7×9×3=5292种不同的选法.
【变式探究】
解:先分6类,每类再分2步:
第1类选O型与A型,有28×7=196种选法;第2类选O型与B型,有28×9=252种选法;第3类选O型与AB型,有28×3=84种选法;第4类选A型与B型,有7×9=63种选法;第5类选A型与AB型,有7×3=21种选法;第6类选B型与AB型,有9×3=27种选法.所以任选2人去献血,血型不同的选法共有196+252+84+63+21+27=643(种).

答案： 【解】
(1)分四类:
从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
任选1人去献血,用分类加法计数原理,得28+7+9+3=47种不同的选法.
(2)分四步:
要从4种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,"各选1人去献血"的事情才算完成,所以用分步乘法计数原理,得28×7×9×3=5292种不同的选法.
【变式探究】
解:先分6类,每类再分2步:
第1类选O型与A型,有28×7=196种选法;第2类选O型与B型,有28×9=252种选法;第3类选O型与AB型,有28×3=84种选法;第4类选A型与B型,有7×9=63种选法;第5类选A型与AB型,有7×3=21种选法;第6类选B型与AB型,有9×3=27种选法.所以任选2人去献血,血型不同的选法共有196+252+84+63+21+27=643(种).