《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

观察以下各式：
$(a + b)^1 = a + b$,
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$,
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$,
$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$,
...
思考 1 展开式的项数与二项式的次数有关系吗？
思考 2 展开式中各项的次数与二项式的次数有关系吗？
思考 3 对于$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a^2 + 2ab + b^2$,如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
思考1 提示:有关系,展开式的项数比二项式的次数多1.
思考2 提示:有关系,展开式中各项的次数与二项式的次数相等.
思考3 提示:$(a+b)^{2}$是2个$(a+b)$相乘,根据多项式乘法法则,每个$(a+b)$在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个$(a+b)$中的a或b都选定后,将它们相乘才能得到展开式的一项.因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,$(a+b)^{2}$的展开式共有$2×2=2^{2}$项,而且每一项都是$a^{2-k}b^{k}(k=0,1,2)$的形式,而且$a^{2-k}b^{k}$相当于从2个$(a+b)$中取k个b的组合数$C_{2}^{k}$,即$a^{2-k}b^{k}$的系数是$C_{2}^{k}$.

答案： 思考1 提示:有关系,展开式的项数比二项式的次数多1.
思考2 提示:有关系,展开式中各项的次数与二项式的次数相等.
思考3 提示:$(a+b)^{2}$是2个$(a+b)$相乘,根据多项式乘法法则,每个$(a+b)$在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个$(a+b)$中的a或b都选定后,将它们相乘才能得到展开式的一项.因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,$(a+b)^{2}$的展开式共有$2×2=2^{2}$项,而且每一项都是$a^{2-k}b^{k}(k=0,1,2)$的形式,而且$a^{2-k}b^{k}$相当于从2个$(a+b)$中取k个b的组合数$C_{2}^{k}$,即$a^{2-k}b^{k}$的系数是$C_{2}^{k}$.

一二项式定理
1. 二项式定理：$(a+b)^n=$①$C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b^{1}+\cdots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n}$（$n\in\mathbf{N}^*$）.
2. 相关概念：
（1）展开式：右边的多项式叫做$(a+b)^n$的二项展开式，共有②$n+1$项.
（2）二项式系数：各项的系数③$C_{n}^{k}$（$k=0,1,2,\cdots,n$）叫做二项式系数.
（3）通项：展开式中的④$C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$叫做二项展开式的通项，记作$T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$.

答案： ①$C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b^{1}+\cdots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n}$ ②$n+1$ ③$C_{n}^{k}$ ④$C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”.
(1) $(a + b)^n$ 展开式中共有 $n$ 项. (×)
(2) 二项式 $(a + b)^n$ 与 $(b + a)^n$ 展开式中第 $r + 1$ 项相同. (×)
(3) $\mathrm{C}_n^k a^{n - k} b^k$ 是 $(a + b)^n$ 展开式中的第 $k$ 项. (×)

答案：
(1)×
(2)×
(3)×

2. $\mathrm{C}_n^1 + 2\mathrm{C}_n^2 + 4\mathrm{C}_n^3 + … + 2^{n - 1}\mathrm{C}_n^n = $ (D)
A.$3n$
B.$2 \cdot 3n$
C.$\frac{3^n}{2} - 1$
D.$\frac{3^n - 1}{2}$

答案： D

3. $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^5$ 的展开式为$x^{\frac{5}{2}}-5x^{\frac{3}{2}}+10x^{\frac{1}{2}}-10x^{-\frac{1}{2}}+5x^{-\frac{3}{2}}-x^{-\frac{5}{2}}$.

答案： $x^{\frac{5}{2}}-5x^{\frac{3}{2}}+10x^{\frac{1}{2}}-10x^{-\frac{1}{2}}+5x^{-\frac{3}{2}}-x^{-\frac{5}{2}}$