《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例3 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子.
解：（1 ）先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有$C_{5}^{3}=10$种放法.
（2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有$C_{4}^{1}$种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有$C_{5}^{2}$种选法，由分步乘法计数原理得，共有$C_{4}^{1}C_{5}^{2}=40$种分法.

答案： 【解】（1）先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有$C_{5}^{3}=10$种放法.
（2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有$C_{4}^{1}$种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有$C_{5}^{2}$种选法，由分步乘法计数原理得，共有$C_{4}^{1}C_{5}^{2}=40$种分法.

[跟踪训练3] 现有6个评优名额要分配给3个班级,要求每班至少一个名额,则分配方案有(B)
A.8种
B.10种
C.18种
D.27种

答案： 【解析】选B.由题意，利用隔板法，把6个元素排成一列形成5个空隙，再在5个空隙放置2个隔板，则共有$C_{5}^{2}=10$种方案，故选B.

例4 (1)甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩,每人只能去一个地方,汉口江滩一定要有人去,则不同游玩方案的种数为(A)
A.65
B.73
C.70
D.60

答案： 【解析】（1）根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有$3×3×3×3=81$种情况，若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼、东湖，每人有2种选择方法，则4人一共有$2×2×2×2=16$种情况，故汉口江滩一定有人去有$81-16=65$种情况.故选A.

(2)某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有474种.

答案： （2）从9节课中任意安排3节共有$A_{9}^{3}=504$（种）；
其中前5节课连排3节共有$3A_{3}^{3}=18$（种）；
后4节课连排3节共有$2A_{3}^{3}=12$（种）.
所以老师一天课表的所有排法共有$504-18-12=474$（种）.
【答案】474

间接法的解题步骤
间接法,也称为总体剔除 ；法,其解题步骤是：首先忽略题目中给出的附加条件,就整体的排列组合数量进行计算；然后再利用附加条件来计算得出不符合题目要求的数量；最后通过前后相;减的方式得出问题的具体答案.

答案： 间接法解题步骤：
1. 计算不考虑附加条件时的总排列组合数；
2. 计算不符合附加条件的排列组合数；
3. 用总排列组合数减去不符合条件的排列组合数，得到符合条件的结果。

[跟踪训练4] (1)从正方体的8个顶点中选4个点可作四面体的个数为(C)
A. 38
B. 46
C. 58
D. 64

答案： 【解析】选C.正方体的8个顶点中选4个点共有$C_{8}^{4}$种选法，其中4点共面的情况有正方体的6个面和6个对角面，故可作$C_{8}^{4}-12=58$个四面体.

(2)某科技大会现面向社会招聘优秀志愿者,参与大会各项服务保障工作. 现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”“服务组”“物料组”“机动组”4个不同的岗位工作,每人去一个组,其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组” 的选派方法共有276种. (用数字作答)

答案： （2）解析：依题意，6人中选派4人参与选派方式共有$A_{6}^{4}=360$（种），其中甲、乙都不参与的选派方式共有$A_{4}^{4}=24$（种），甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有$C_{2}^{1}A_{5}^{3}=60$（种），所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有$A_{6}^{4}-C_{2}^{1}A_{5}^{3}-A_{4}^{4}=360-60-24=276$（种）.
答案：276