《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

[跟踪训练1] 从6男4女共10名志愿者中,选出3人参加社会实践活动.
(1)共有多少种不同的选择方法?
(2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女,且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,共有多少种不同的选派方法?
解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，共有$C_{10}^{3}=120$种选择方法.
（2）从10名志愿者中选2男1女，共有$C_{6}^{2}C_{4}^{1}=60$种选择方法，故从10名志愿者中选派60种选法，且分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为$C_{6}^{2}C_{4}^{1}A_{3}^{3}=360$.

答案： 解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，共有$C_{10}^{3}=120$种选择方法.
（2）从10名志愿者中选2男1女，共有$C_{6}^{2}C_{4}^{1}=60$种选择方法，故从10名志愿者中选派60种选法，且分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为$C_{6}^{2}C_{4}^{1}A_{3}^{3}=360$.

例2 某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人分别翻译英语和日语,有多少种不同的选法?
【解】由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.
方法一：分两类.
第一类：从只会英语的6人中选1人翻译英语，有6种选法，则选翻译日语的1人有$2+1=3$种选法.此时共有$6×3=18$种选法.
第二类：从既会英语又会日语的1人中选1人翻译英语，有1种选法，则选翻译日语的1人有2种选法，此时有$1×2=2$种选法.
所以由分类加法计数原理知，共有$18+2=20$种选法.
方法二：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形.入选后又要分两种：（1）翻译英语；（2）翻译日语.
第一类，甲入选.
（1）甲翻译英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有$1×2=2$种选法；
（2）甲翻译日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有$1×6=6$种选法.
故甲入选共有$2+6=8$种不同的选法.
第二类，甲不入选，可分两步：
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有$6×2=12$种不同的选法.
综上，共有$8+12=20$种不同的选法.

答案： 【解】由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.
方法一：分两类.
第一类：从只会英语的6人中选1人翻译英语，有6种选法，则选翻译日语的1人有$2+1=3$种选法.此时共有$6×3=18$种选法.
第二类：从既会英语又会日语的1人中选1人翻译英语，有1种选法，则选翻译日语的1人有2种选法，此时有$1×2=2$种选法.
所以由分类加法计数原理知，共有$18+2=20$种选法.
方法二：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形.入选后又要分两种：（1）翻译英语；（2）翻译日语.
第一类，甲入选.
（1）甲翻译英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有$1×2=2$种选法；
（2）甲翻译日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有$1×6=6$种选法.
故甲入选共有$2+6=8$种不同的选法.
第二类，甲不入选，可分两步：
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有$6×2=12$种不同的选法.
综上，共有$8+12=20$种不同的选法.

[跟踪训练2] 某车间有11名工人,其中5名钳工,4名车工,另外2名既能当车工又能当钳工,现在要从这11名工人中选4名钳工,4名车工修理一台机床,则共有多少种不同的选法?
解：设既能当车工又能当钳工的工人为“多面手”，则由题意分三类：
第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有$C_{5}^{4}C_{6}^{4}=75$（种）；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为$C_{2}^{1}C_{5}^{3}C_{5}^{4}=100$（种）；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为$C_{2}^{2}C_{5}^{2}C_{4}^{4}=10$（种）.
由分类加法计数原理，不同的选法共有$75+100+10=185$种.

答案： 解：设既能当车工又能当钳工的工人为“多面手”，则由题意分三类：
第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有$C_{5}^{4}C_{6}^{4}=75$（种）；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为$C_{2}^{1}C_{5}^{3}C_{5}^{4}=100$（种）；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为$C_{2}^{2}C_{5}^{2}C_{4}^{4}=10$（种）.
由分类加法计数原理，不同的选法共有$75+100+10=185$种.