《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

[跟踪训练2] 圆上有12个不同的点.
(1)过每两点画一条弦,一共可以画多少条不同的弦？
(2)过每三点画一个圆内接三角形,一共可以画多少个圆内接三角形？
(1)从12个不同的点任选两点可画一条弦，所以共画出$C_{12}^{2}=66$条不同的弦.
(2)因为圆上不共线的三点确定一个三角形，所以从12个不同的点任选三点可以画一个三角形，所以共画出$C_{12}^{3}=220$个圆内接三角形.

答案：
(1)从12个不同的点任选两点可画一条弦，所以共画出$C_{12}^{2}=66$条不同的弦.
(2)因为圆上不共线的三点确定一个三角形，所以从12个不同的点任选三点可以画一个三角形，所以共画出$C_{12}^{3}=220$个圆内接三角形.

例3 有6本不同的书,按下列分配方式分配,则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组,每组分别有1本,2本,3本；
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本；
(3)分成三组,每组都是2本；
(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.
（1）分三步：先选一本有$C_{6}^{1}$种选法，再从余下的5本中选两本有$C_{5}^{2}$种选法，最后余下的三本全选有$C_{3}^{3}$种选法.由分步乘法计数原理知，分配方式共有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}=60$（种）.
（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）问的基础上，还应考虑再分配问题，因此分配方式共有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}A_{3}^{3}=360$（种）.
（3）先分三组，有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种分法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为（AB，CD，EF），但$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种分法中还有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD），共$A_{3}^{3}$种情况，而这$A_{3}^{3}$种情况只能作为一种分法，故分配方式有$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}=15$（种）.
（4）方法一：在（3）的基础上再分配即可，共有分配方式$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}\cdot A_{3}^{3}=90$（种）.
方法二：甲、乙、丙三人，每人2本，可分三步，依次让甲、乙、丙三人选两本，共有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}=90$（种）.

答案： （1）分三步：先选一本有$C_{6}^{1}$种选法，再从余下的5本中选两本有$C_{5}^{2}$种选法，最后余下的三本全选有$C_{3}^{3}$种选法.由分步乘法计数原理知，分配方式共有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}=60$（种）.
（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）问的基础上，还应考虑再分配问题，因此分配方式共有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}A_{3}^{3}=360$（种）.
（3）先分三组，有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种分法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为（AB，CD，EF），但$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种分法中还有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD），共$A_{3}^{3}$种情况，而这$A_{3}^{3}$种情况只能作为一种分法，故分配方式有$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}=15$（种）.
（4）方法一：在（3）的基础上再分配即可，共有分配方式$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}\cdot A_{3}^{3}=90$（种）.
方法二：甲、乙、丙三人，每人2本，可分三步，依次让甲、乙、丙三人选两本，共有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}=90$（种）.

[跟踪训练3] (1)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同的放法共有(C)
A.480种
B.360种
C.240种
D.120种

答案： C

(2)(多选)有6本不同的书,按下列方式进行分配,其中分配种数正确的是(ABC)
A.分给甲、乙两人,每人各3本,有20种分法
B.分给甲、乙、丙三人,其中一人4本,另两人各1本,有90种分法
C.分给甲、乙每人各2本,分给丙、丁每人各1本,有180种分法
D.分给甲、乙、丙、丁四人,有两人各2本,另两人各1本,有2160种分法

答案： ABC