《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

[跟踪训练1] 一个口袋中有大小相同且编有不同的号码的8个白球和5个彩球.
(1)若一次取2个球,至少有一个白球的取法有多少种？
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球,有多少种取法？
(1)若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个彩球”，故不同的取法有$C_{8}^{2}+C_{8}^{1}C_{5}^{1}=28+40=68$（种）.
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有两种可能：“两个白球一个彩球”或“一个白球两个彩球”，故不同的取法有$C_{8}^{2}C_{5}^{1}+C_{8}^{1}C_{5}^{2}=140+80=220$（种）.

答案：
(1)若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个彩球”，故不同的取法有$C_{7}^{2}+C_{7}^{1}C_{5}^{1}=28+40=68$（种）.
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有两种可能：“两个白球一个彩球”或“一个白球两个彩球”，故不同的取法有$C_{7}^{2}C_{5}^{1}+C_{7}^{1}C_{5}^{2}=140+80=220$（种）.

二 与几何图形有关的组合问题
例2 如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O),这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？

当取到点O时，在OA，OB上各取一点（与点O不同），有$C_{5}^{1}C_{6}^{1}=30$（个）；
当取不到点O时，第1类：从OB上取两点（与点O不同），在OA上取一个点（与点O不同），有$C_{6}^{2}C_{5}^{1}=75$（个）；第2类：从OA上取两点（与点O不同），在OB上取一个点（与点O不同），有$C_{5}^{2}C_{6}^{1}=60$（个）.
所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有30+75+60=165（个）.

答案： 当取到点O时，在OA，OB上各取一点（与点O不同），有$C_{5}^{2}C_{4}^{1}=30$（个）；
当取不到点O时，第1类：从OB上取两点（与点O不同），在OA上取一个点（与点O不同），有$C_{5}^{2}C_{4}^{1}=75$（个）；第2类：从OA上取两点（与点O不同），在OB上取一个点（与点O不同），有$C_{4}^{2}C_{5}^{1}=60$（个）.
所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有30+75+60=165（个）.