《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例3 某大学组织学生自愿无偿献血。在一个班级体检合格的学生中,$O型血有11$人,$A型血有7$人,$B型血有6$人,$AB型血有5$人。
(1)从中任选$2$名相同血型的学生去献血,有多少种不同的选法？
(2)从中任选$2$名不同血型的学生去献血,有多少种不同的选法？
[变式探究]
(综合变式)每种血型的学生各选$2$名去献血,有多少种不同的选法？
(1)由题意得任选2名相同血型的学生去献血,有$C_{11}^{2}+C_{7}^{2}+C_{6}^{2}+C_{5}^{2}=55+21+15+10=101$种不同的选法.
(2)任选2名不同血型的学生去献血,有$C_{11}^{1}C_{7}^{1}+C_{11}^{1}C_{6}^{1}+C_{11}^{1}C_{5}^{1}+C_{7}^{1}C_{6}^{1}+C_{7}^{1}C_{5}^{1}+C_{6}^{1}C_{5}^{1}=305$种不同的选法.
[变式探究]解:每种血型的学生各选2名学生去献血,有$C_{11}^{2}C_{7}^{2}C_{6}^{2}C_{5}^{2}=173250$种不同的选法.

答案： 【解】
(1)由题意得任选2名相同血型的学生去献血,有$C_{11}^{2}+C_{7}^{2}+C_{6}^{2}+C_{5}^{2}=55+21+15+10=101$种不同的选法.
(2)任选2名不同血型的学生去献血,有$C_{11}^{1}C_{7}^{1}+C_{11}^{1}C_{6}^{1}+C_{11}^{1}C_{5}^{1}+C_{7}^{1}C_{6}^{1}+C_{7}^{1}C_{5}^{1}+C_{6}^{1}C_{5}^{1}=305$种不同的选法.
[变式探究]解:每种血型的学生各选2名学生去献血,有$C_{11}^{2}C_{7}^{2}C_{6}^{2}C_{5}^{2}=173250$种不同的选法.

[跟踪训练3] 现从“十佳志愿者”的10人中任选5人代表学校参加“为美丽乡村增光添彩”的志愿服务活动。问：
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果还要从选出的5人中再选定一人为组长,那么共有多少种不同的选法？
解:
(1)由于从10人中任选5人,与顺序无关,所以共有$C_{10}^{5}=\frac {10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1}=252$种选法.
(2)方法一:从这10人中任选5人,并确定其中一人为组长,可以分为如下两步完成:第一步,先从10人中任选5人,共有$C_{10}^{5}$种方法;第二步,从选出的5人中再确定1人为组长,共有$C_{5}^{1}$种方法.根据分步乘法计数原理,共有$C_{10}^{5}×C_{5}^{1}=1260$种不同的选法.
方法二:从这10人中任选5人,并确定其中一人为组长,可以分为如下两步完成:第一步,先从10人中选定1人为组长,共有$C_{10}^{1}$种方法;第二步,从余下的9人中再选出4人,共有$C_{9}^{4}$种方法.根据分步乘法计数原理,共有$C_{10}^{1}×C_{9}^{4}=1260$种不同的选法.

答案： 解:
(1)由于从10人中任选5人,与顺序无关,所以共有$C_{10}^{5}=\frac {10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1}=252$种选法.
(2)方法一:从这10人中任选5人,并确定其中一人为组长,可以分为如下两步完成:第一步,先从10人中任选5人,共有$C_{10}^{5}$种方法;第二步,从选出的5人中再确定1人为组长,共有$C_{5}^{1}$种方法.根据分步乘法计数原理,共有$C_{10}^{5}×C_{5}^{1}=1260$种不同的选法.
方法二:从这10人中任选5人,并确定其中一人为组长,可以分为如下两步完成:第一步,先从10人中选定1人为组长,共有$C_{10}^{1}$种方法;第二步,从余下的9人中再选出4人,共有$C_{9}^{4}$种方法.根据分步乘法计数原理,共有$C_{10}^{1}×C_{9}^{4}=1260$种不同的选法.

1. (教材$P_{25}T_{3}$改编)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这$6$门学科的学业水平考试成绩,现要从中选$3$门考试成绩进行分析,其中物理必须选,则不同的选法为(C)
A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$21$

答案： 解析:选C.由题意,可知不同的取法的种数为$C_{5}^{2}=\frac {5×4}{2×1}=10$.故选C.