《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例1 (对接教材例6)计算下列各式的值。
(1)$C_{5}^{2}+C_{6}^{3}$；(2)$C_{100}^{2}+C_{100}^{99}$；
(3)$C_{3n}^{38 - n}+C_{21 + n}^{3n}$；(4)$C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+… +C_{10}^{3}$。
【解】
(1)$C_{5}^{2}+C_{6}^{3}=\frac {5×4}{2×1}+\frac {6×5×4}{3×2×1}=10+20=30.$
(2)$C_{100}^{2}+C_{100}^{99}=C_{100}^{2}+C_{100}^{1}=\frac {100×99}{2×1}+100=5050.$
(3)因为$\left\{\begin{array}{l} 0≤38-n≤3n,\\ 0≤3n≤21+n,\\ n∈N^{*},\end{array}\right. $解得$n=10.$所以$C_{38-n}^{3n}+C_{21+n}^{3n}=C_{30}^{30}+C_{31}^{31}=C_{30}^{0}+C_{31}^{0}=1+1=2.$
(4)$C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+... +C_{10}^{3}=C_{4}^{4}+C_{4}^{3}+... +C_{10}^{3}=C_{5}^{4}+C_{5}^{3}+... +C_{10}^{3}=... =C_{11}^{4}=\frac {11×10×9×8}{4×3×2×1}=330.$

答案： 【解】
(1)$C_{5}^{2}+C_{6}^{3}=\frac {5×4}{2×1}+\frac {6×5×4}{3×2×1}=10+20=30.$
(2)$C_{100}^{2}+C_{100}^{99}=C_{100}^{2}+C_{100}^{1}=\frac {100×99}{2×1}+100=5050.$
(3)因为$\left\{\begin{array}{l} 0≤38-n≤3n,\\ 0≤3n≤21+n,\\ n∈N^{*},\end{array}\right. $解得$n=10.$所以$C_{38-n}^{3n}+C_{21+n}^{3n}=C_{30}^{30}+C_{31}^{31}=C_{30}^{0}+C_{31}^{0}=1+1=2.$
(4)$C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+... +C_{10}^{3}=C_{4}^{4}+C_{4}^{3}+... +C_{10}^{3}=C_{5}^{4}+C_{5}^{3}+... +C_{10}^{3}=... =C_{11}^{4}=\frac {11×10×9×8}{4×3×2×1}=330.$

[跟踪训练1] (1)计算$2C_{7}^{5}+3A_{5}^{2}$的值是(B)
A.$72$
B.$102$
C.$507$
D.$510$

答案： 解析:选B.$2C_{7}^{5}+3A_{5}^{2}=2×\frac {7!}{(7-5)!5!}+3×\frac {5!}{(5-2)!}=2×21+3×20=102$.故选B.

(2)$C_{6}^{2}+C_{6}^{3}+C_{7}^{4}+C_{8}^{5}+C_{9}^{6}= $210。

答案： 解析:因为$C_{n}^{m-1}+C_{n}^{m}=C_{n+1}^{m}$,所以$C_{6}^{6}+C_{7}^{6}+C_{8}^{6}+C_{9}^{6}=C_{7}^{7}+C_{7}^{6}+C_{8}^{6}+C_{9}^{6}=C_{8}^{7}+C_{8}^{6}+C_{9}^{6}=C_{9}^{7}+C_{9}^{6}=C_{10}^{7}=210.$答案:210

(3)$C_{10}^{m + 2}+C_{10}^{17 - m}$的值为11。

答案： 解析:由$C_{10}^{m+2}+C_{10}^{17-m}$有意义可得$\left\{\begin{array}{l} 0≤m+2≤10,\\ 0≤17-m≤10,\\ m∈Z,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} 7≤m≤8,\\ m∈Z,\end{array}\right. $所以$m=7$或$m=8.$当$m=7$时,$C_{10}^{m+2}+C_{10}^{17-m}=C_{10}^{9}+C_{10}^{10}=10+1=11$;当$m=8$时,$C_{10}^{m+2}+C_{10}^{17-m}=C_{10}^{10}+C_{10}^{9}=1+10=11.$答案:11

例2 (1)解关于正整数$x$的方程：$C_{16}^{x^{2}-x}= C_{16}^{5x - 5}$；

答案： 【解】x为正整数,由$C_{16}^{x^{2}-x}=C_{16}^{5x-5}$可得$x^{2}-x=5x-5$或$x^{2}-x+5x-5=16$,故$x^{2}-6x+5=0$或$x^{2}+4x-21=0$,解得$x=1$或$x=5$或$x=3$或$x=-7$(舍去),又$x^{2}-x,5x-5$均为整数,且$0≤x^{2}-x≤16,0≤5x-5≤16$,所以$x=1$或$x=3$符合要求,$x=5$不符合要求,故$x=1$或$x=3.$

(2)证明：$C_{n}^{k}\cdot C_{n - k}^{m - k}= C_{n}^{m}\cdot C_{m}^{k}$。
证明:$C_{n}^{k}\cdot C_{n-k}^{m-k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}\cdot \frac {(n-k)!}{(m-k)!(n-m)!}=\frac {n!}{k!(m-k)!(n-m)!};$$C_{n}^{m}\cdot C_{m}^{k}=\frac {n!}{m!(n-m)!}\cdot \frac {m!}{k!(m-k)!}=\frac {n!}{k!(m-k)!(n-m)!}.$因此,$C_{n}^{k}\cdot C_{n-k}^{m-k}=C_{n}^{m}\cdot C_{m}^{k}.$

答案： 证明:$C_{n}^{k}\cdot C_{n-k}^{m-k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}\cdot \frac {(n-k)!}{(m-k)!(n-m)!}=\frac {n!}{k!(m-k)!(n-m)!};$$C_{n}^{m}\cdot C_{m}^{k}=\frac {n!}{m!(n-m)!}\cdot \frac {m!}{k!(m-k)!}=\frac {n!}{k!(m-k)!(n-m)!}.$因此,$C_{n}^{k}\cdot C_{n-k}^{m-k}=C_{n}^{m}\cdot C_{m}^{k}.$

[跟踪训练2] (1)若$C_{8}^{m - 1}＞3C_{8}^{m}$,求$m$。

答案： 解:依题意,得$0≤m-1≤8$且$0≤m≤8$,所以$1≤m≤8$,由$C_{8}^{m-1}＞3C_{8}^{m}$,可得$\frac {8!}{(m-1)!(9-m)!}＞\frac {3×8!}{m!(8-m)!}$,即$\frac {1}{9-m}＞\frac {3}{m}$,解得$\frac {27}{4}＜m≤8$,又因为$m∈N^{*}$,所以$m=7$或$m=8.$

(2)已知$m$是自然数,$n$为正整数,且$m + 1\leq n$,求证：$C_{n}^{m}= \frac{m + 1}{n - m}C_{n}^{m + 1}$。
证明:根据组合数公式,可以得到$\frac {m+1}{n-m}C_{n}^{m+1}=\frac {m+1}{n-m}\cdot \frac {n!}{(m+1)!(n-m-1)!}=\frac {n!}{m!(n-m)!}=C_{n}^{m}$,等式成立.

答案： 证明:根据组合数公式,可以得到$\frac {m+1}{n-m}C_{n}^{m+1}=\frac {m+1}{n-m}\cdot \frac {n!}{(m+1)!(n-m-1)!}=\frac {n!}{m!(n-m)!}=C_{n}^{m}$,等式成立.