《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

3. (教材 $ P_{23}T_3 $ 改编) 从 2,3,4,5 四个数中任取 2 个数作为对数式 $ \log_a b $ 的底数与真数,得到的对数有12个；若问两个数相乘得到的积有几种？这是组合问题(用“排列”“组合”填空)。

答案： 12　组合

4. 判断下列问题是排列问题还是组合问题。
(1) $ a $,$ b $,$ c $,$ d $ 四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场？组合问题
(2) $ a $,$ b $,$ c $,$ d $ 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果？排列问题
(3) 从全班 40 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法？排列问题
(4) 从全班 40 人中选出 3 人参加某项活动,有多少种不同的选法？组合问题

答案：
(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.

在上节课中,我们已研究高二(1)班有关$A$,$B$,$C$,$D$ $4$名候选人问题,请继续思考下列问题：
思考1 我们已经会求$4名候选人中选择2人的排列数A_{4}^{2}= 12$,也已能列举求出$4名候选人中选择2人的组合数M = 6$,能否发现二者的联系？
思考2 你能解释$\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$的含义吗？
思考 1 提示:求从4名候选人中选择2人的排列数$A_{4}^{2}$,可以分如下两步:①从4名候选人中选择2人的组合有M个;②对每一个组合的2人进行全排列,各有$A_{2}^{2}$种方法.由分步乘法计数原理得,$A_{4}^{2}=M\cdot A_{2}^{2}$,所以$M=\frac {A_{4}^{2}}{A_{2}^{2}}$.
思考 2 提示:$\frac {A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$就是消除排列数$A_{n}^{m}$中顺序的影响.

答案： 思考 1 提示:求从4名候选人中选择2人的排列数$A_{4}^{2}$,可以分如下两步:①从4名候选人中选择2人的组合有M个;②对每一个组合的2人进行全排列,各有$A_{2}^{2}$种方法.由分步乘法计数原理得,$A_{4}^{2}=M\cdot A_{2}^{2}$,所以$M=\frac {A_{4}^{2}}{A_{2}^{2}}$.
思考 2 提示:$\frac {A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$就是消除排列数$A_{n}^{m}$中顺序的影响.

一组合数与组合数公式
1. 组合数：从$n个不同元素中取出m(m\leq n)$个元素的①所有不同组合的个数,叫做从$n个不同元素中取出m$个元素的组合数,用符号②$C_{n}^{m}$表示。
2. 组合数公式
$C_{n}^{m}= \frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}= $③$\frac {n(n-1)(n-2)... (n-m+1)}{m!}$或$C_{n}^{m}= $④$\frac {n!}{m!(n-m)!}$($n$,$m\in N^{*}$,且$m\leq n$)。
规定：$C_{n}^{0}= 1$。
3. 组合数的性质
性质1：$C_{n}^{m}= C_{n}^{n - m}$；
性质2：$C_{n + 1}^{m}= C_{n}^{m}+C_{n}^{m - 1}$。

答案： ①所有不同组合的个数 ②$C_{n}^{m}$③$\frac {n(n-1)(n-2)... (n-m+1)}{m!}$④$\frac {n!}{m!(n-m)!}$