《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

2. 一个科技小组有 3 名男同学,5 名女同学,从中任选 1 名同学参加学科竞赛,不同的选派方法共有8种.

答案： 解析:任选1名同学参加学科竞赛,有两类方案:
第一类,从男同学中选取1名参加学科竞赛,有3种不同的选法;
第二类,从女同学中选取1名参加学科竞赛,有5种不同的选法.
由分类加法计数原理得,不同的选派方法共有3+5=8(种).
答案:8

3. 用 1,5,9,13 中的任意一个数作分子,4,8,12,16 中任意一个数作分母,可以构成10个不同的真分数.

答案： 解析:由真分数的定义知,真分数的分母大于分子,且均为正整数,
若1为分子,分母有4种选择;
若5为分子,分母有3种选择;
若9为分子,分母有2种选择;
若13为分子,分母有1种选择,
且没有重复的分数,所以不同的真分数共有4+3+2+1=10(个).
答案:10

二 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 $m$ 种不同的方法,做第 2 步有 $n$ 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.

答案： N=m×n

例 1 已知集合 $M= \{-3,-2,-1,0,1,2\}$,点 $P(a,b)$ 在平面直角坐标系内,且 $a,b\in M$.
(1) 平面上共有多少个点 $P$？
(2) 有多少个点 $P$ 在第二象限内？
【变式探究】
1. (设问变式)若本例条件不变,在圆 $x^{2}+y^{2}= 5$ 上的点的个数为(D)
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
2. (设问变式)若本例条件不变,有多少个点 $P$ 不在直线 $y = x$ 上？
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答案： 【解】
(1)第一步,先安排横坐标a,a∈M={-3,-2,-1,0,1,2},所以a有6种选择;第二步,安排纵坐标b,b∈M={-3,-2,-1,0,1,2},所以b有6种选择,所以一共有6×6=36个满足条件的点P.
(2)P(a,b)在第二象限内,则a＜0,b＞0,故a可从-3,-2,-1这3个数字中选择1个,有3种选择,b可从1,2这2个数字中选择1个,有2种选择,故总共有3×2=6个满足条件的点P.
【变式探究】
1.解析:选D.由于a,b∈M={-3,-2,-1,0,1,2}且P(a,b)在圆上,即a²+b²=5.所以a∈{-2,2}时,b∈{-1,1},a∈{-1,1}时,b∈{-2,2}.因此圆上的点的个数为2×2+2×2=8.故选D.
2.解:在直线y=x上的点满足a=b,此时(a,b)可以为(-3,-3),(-2,-2),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,2)共6个,所以不在直线y=x上的点有36-6=30(个).