《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例1 (对接教材例4)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位数的奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)比400 000大的正整数.

答案：
(1)288；
(2)504；
(3)240。

(1)用0到9这10个数字,组成没有重复数字的四位偶数的个数是( )

A.2 295
B.2 296
C.2 297
D.2 298

答案： B

(2)用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12 340应是第* ____ *个数字.

答案： 【解析】：首位为1时，千位为0的五位数有$A_{3}^{3}=6$个；千位为2，百位为0的五位数有$A_{2}^{2}=2$个；千位为2，百位为3，十位为0的五位数有1个（12304）。共有$6+2+1=9$个数比12340小，故12340是第10个。
【答案】：10

例2 从包括甲、乙2名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,求解下列问题.
(1)甲不在首位的排法有多少种?
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种?
(3)甲不在首位,同时乙不在末位的排法有多少种?
【变式探究】
(条件变式)本例中的问题变为:甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种?

答案：
(1)2160；
(2)1800；
(3)1860；变式探究：1200。

(1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是( )

A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： B

(2)校运会期间,需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作,学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作,其中甲、乙2名志愿者不承担铅球记录工作,则不同的安排方法共有* ____ *种.

答案： 80

例3 某校举办元旦晚会,现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.(结果用数字作答)
(1)如果4首歌曲相邻,那么有多少种不同的出场顺序?
(2)如果3个舞蹈不相邻,那么有多少种不同的出场顺序?

答案：
(1) 将4首歌曲捆绑为一个整体，与3个舞蹈共4个元素全排列，有$A_{4}^{4}$种排法；捆绑的4首歌曲内部全排列，有$A_{4}^{4}$种排法。由分步乘法计数原理，共有$A_{4}^{4} × A_{4}^{4} = 24 × 24 = 576$种不同出场顺序。
(2) 先将4首歌曲全排列，有$A_{4}^{4}$种排法，形成5个空隙（含两端）；再在5个空隙中选3个插入3个舞蹈，有$A_{5}^{3}$种排法。由分步乘法计数原理，共有$A_{4}^{4} × A_{5}^{3} = 24 × 60 = 1440$种不同出场顺序。
(1)576；
(2)1440

“相邻”与“不相邻”问题的解题策略
处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.
(1)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.
(2)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.

答案： 答案略

(1)现有4男3女共7个人排成一排照相,其中三个女生不全相邻的排法种数为( )

A.$ A_{3}^{3}A_{5}^{5} $
B.$ A_{7}^{7}-A_{5}^{5}A_{3}^{3} $
C.$ A_{4}^{4}A_{5}^{3} $
D.$ A_{7}^{7}-A_{5}^{3} $

答案： B

(2)中国古代儒家提出的“六艺”:礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预计在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,则“书”与“乐”不能相邻,“射”和“御”要相邻的排法种数是* ____ * .

答案： 144

三 定序问题
例4 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.其中有3位老者,2位年轻人,老者要按年龄从大到小的顺序出场,出场顺序有多少种?

答案： 20

(1)某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插入方法的种数为( )

A.2
B.11
C.36
D.42

答案： D

(2)某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后进行,那么安排这6项工程不同的排法种数是* ____ * .

答案： 120

1.(教材$ P_{26}T_{5} $改编)5本书编号为$ a,b,c,d,e $,其中$ a 必须排放在 b $的左边,则排放方法一共有( )

A.42种
B.60种
C.30种
D.36种

答案： B

2.(多选)将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》,诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排,则( )

A.戏曲书放在正中间位置的不同放法有$ A_{6}^{6} $种
B.诗集相邻的不同放法有$ 2A_{6}^{6} $种
C.四大名著互不相邻的不同放法有$ A_{3}^{3}A_{4}^{4} $种
D.四大名著不放在两端的不同放法有$ A_{4}^{4} $种

答案： ABC

3.从数字1,2,3,4,5,6,7,8,9中任选4个组成无重复数字的四位数,满足千位和百位上的数字之和为5,则这样的偶数共有* ____ *个.

答案： 72

4.(教材$ P_{26}T_{9} $改编)某5位同学排成一排准备照相时,又来了甲、乙、丙3位同学要加入,若保持原来5位同学的相对顺序不变,且甲、乙2位同学互不相邻,丙同学不站在两端,有多少种不同的加入方法?

答案： 解答步骤：
1. 计算丙不在两端的总方法数（甲、乙可相邻）：
加入3人后共8个位置，丙不站两端（即丙只能在位置2-7，共6个位置）。甲、乙从剩余7个位置中选2个排列，方法数为：
$ 6 × A(7,2) = 6 × 7 × 6 = 252 $。
2. 计算丙不在两端且甲、乙相邻的方法数：
将甲、乙看作整体（2种顺序：甲乙或乙甲），与丙共2个“元素”。
甲、乙整体在两端相邻位置：共2种（(1,2)和(7,8)），每种丙有5个位置可选，方法数：$ 2 × 2 × 5 = 20 $。
甲、乙整体在中间相邻位置：共5种（(2,3)至(6,7)），每种丙有4个位置可选，方法数：$ 5 × 2 × 4 = 40 $。
总计：$ 20 + 40 = 60 $。
3. 计算丙不在两端且甲、乙不相邻的方法数：
$ 252 - 60 = 192 $。
结论：
192

在某次校级演讲比赛中,高二(1)班共有 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 4 名候选人。
思考 1 若选 2 人在班级内部赛上依次发言,有多少种选择方案？
思考 2 若选 2 人参加校级演讲比赛,有多少种选择方案？并列出所有的选择方案。
思考 3 上述两个问题有何异同？
思考1　$A_{4}^{2}=4×3=12$
思考2　6种.含A的两个元素有:AB,AC，AD;不含A含B的两个元素有:BC，BD;不含A，B的两个元素有:CD.所以取2个元素的所有组合是AB，AC,AD,BC,BD,CD
思考3　相同点都是从4个人中选2个人;不同点是选出的2人前者与顺序有关，后者与顺序无关

答案： 思考1　提示：$A_{4}^{2}=4×3=12.$
思考2　提示：6种.含A的两个元素有:AB,AC，AD;不含A含B的两个元素有:BC，BD;不含A，B的两个元素有:CD.所以取2个元素的所有组合是AB，AC,AD,BC,BD,CD.
思考3　提示:相同点都是从4个人中选2个人;不同点是选出的2人前者与顺序有关，后者与顺序无关.

一组合概念的理解
一般地,从 $ n $ 个不同元素中取出 $ m(m \leq n) $ 个元素作为一组,叫做从 $ n $ 个不同元素中取出 $ m $ 个元素的一个组合。

答案： 作为一组

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同。(√)
(2) $ 1 $,$ 2 $,$ 3 $ 与 $ 3 $,$ 2 $,$ 1 $ 是同一个组合。(√)
(3) 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加某两个乡镇的社会调查,求有多少种不同的选法是组合问题。(×)
(4) 把当日动物园的 4 张门票分给 5 个人,每人至多分一张,而且必须分完,求有多少种分法是排列问题。(×)

答案：
(1)√　
(2)√　
(3)×　
(4)×