《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

三 定序问题
例4 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.其中有3位老者,2位年轻人,老者要按年龄从大到小的顺序出场,出场顺序有多少种?
方法一（倍缩法）：5 位嘉宾无约束条件的全排列有$A_{5}^{5}$种，其中 3 位老者不考虑年龄的顺序有$A_{3}^{3}$种.因此满足 3 位老者按年龄从大到小的出场顺序有$\frac {A_{5}^{5}}{A_{3}^{3}}=20$(种).
方法二（依次插空法）：记 3 位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端).第 4 位嘉宾有 4 种出场方法，第 5 位嘉宾站前 4 位嘉宾形成的 5 个空档之一(含两端)，所以共有$4×5=20$种出场方法.
方法三（空位法）：假设出场顺序 1 到 5 个位置，除 3 位老者之外的 2 人先选位置有$A_{5}^{2}$种方法，还空下 3 个位置，3 位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故有$A_{5}^{2}×1=20$种方法.

答案： 方法一（倍缩法）ÿ5 位嘉宾无约束条件的全排列有$A_{5}^{5}$种，其中 3 位老者不考虑年龄的顺序有$A_{3}^{3}$种.因此满足 3 位老者按年龄从大到小的出场顺序有$\frac {A_{5}^{5}}{A_{3}^{3}}=20$(种).
方法二（依次插空法）ÿ记 3 位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端).第 4 位嘉宾有 4 种出场方法，第 5 位嘉宾站前 4 位嘉宾形成的 5 个空档之一(含两端)，所以共有$4×5=20$种出场方法.
方法三（空位法）ÿ假设出场顺序 1 到 5 个位置，除 3 位老者之外的 2 人先选位置有$A_{5}^{2}$种方法，还空下 3 个位置，3 位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故有$A_{5}^{2}×1=20$种方法.

(1)某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插入方法的种数为(D)
A.2
B.11
C.36
D.42

答案： 解析：选 D. 将第一个新节目插入 5 个节目排成的节目单中有 6 种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的 6 个节目排成的节目单中有 7 种插入方法，共有$6×7=42$种插入方法.故选 D.

(2)某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后进行,那么安排这6项工程不同的排法种数是120.

答案： 解析：6 个元素进行排序，先排除甲、乙、丙之外的 3 项工程有$A_{3}^{3}$种排法，再排甲、乙、丙有 1 种排法，所以一共有$A_{3}^{3}×1=120$种排法.
答案：120

1.(教材$P_{26}T_{5}$改编)5本书编号为$a,b,c,d,e$,其中$a必须排放在b$的左边,则排放方法一共有(B)
A.42种
B.60种
C.30种
D.36种

答案： 解析：选 B. 由题意得 5 个编号任意排列，有$A_{5}^{5}$种排法，其中 a 在 b 的左边和 a 在 b 的右边是等可能的，其排法数目是一样的，所以 a 排放在 b 的左边一共有$\frac {A_{5}^{5}}{2}=60$种排法.故选 B.

2.(多选)将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》,诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排,则(ABC)
A.戏曲书放在正中间位置的不同放法有$A_{6}^{6}$种
B.诗集相邻的不同放法有$2A_{6}^{6}$种
C.四大名著互不相邻的不同放法有$A_{3}^{3}A_{4}^{4}$种
D.四大名著不放在两端的不同放法有$A_{4}^{4}$种

答案： 解析：选 ABC. A 选项，戏曲书放在正中间，其余 6 本书和 6 个位置进行全排列，共有$A_{6}^{6}$种不同放法，A 正确；
B 选项，将 2 本诗集进行捆绑，有 2 种放法，再将捆绑的诗集和剩余的 5 本书进行全排列，此时有$A_{6}^{6}$种放法，故诗集相邻的不同放法有$2A_{6}^{6}$种，B 正确；
C 选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有$A_{3}^{3}$种方法，且 3 本书互相之间有 4 个空，将 4 大名著进行插空，有$A_{4}^{4}$种方法，故共有$A_{3}^{3}A_{4}^{4}$种放法，C 正确；
D 选项，在除四大名著外的 3 本书中，挑选 2 本放在两端，有$A_{3}^{2}$种放法，再将剩余 5 本书和 5 个位置进行全排列，有$A_{5}^{5}$种放法，故四大名著不放在两端的不同放法有$A_{3}^{2}A_{5}^{5}$种，D 错误.故选 ABC.

3.从数字1,2,3,4,5,6,7,8,9中任选4个组成无重复数字的四位数,满足千位和百位上的数字之和为5,则这样的偶数共有72个.

答案： 解析：满足数字之和为 5 的两个数字为1 和 4，2 和 3，故千位和百位上的数字排列有$2A_{2}^{2}=4$种情况，再考虑个位数，有 3 种选择，最后考虑十位，有 6 种选择，故这样的偶数共有$4×3×6=72$(个).
答案：72

4.(教材$P_{26}T_{9}$改编)某5位同学排成一排准备照相时,又来了甲、乙、丙3位同学要加入,若保持原来5位同学的相对顺序不变,且甲、乙2位同学互不相邻,丙同学不站在两端,有多少种不同的加入方法?

答案： 解：分两种情况ÿ
当丙不在甲、乙中间时，先加入甲，有$A_{6}^{1}$种方法，再加入乙，有$A_{5}^{1}$种方法，最后加入丙，有$A_{6}^{1}$种方法，此时不同的加入方法共有$A_{6}^{1}A_{5}^{1}A_{6}^{1}=180$(种)；
当丙在甲、乙中间时，甲、丙、乙为一个整体，共有$A_{2}^{2}A_{6}^{1}=12$种方法.
故不同的加入方法共有$180+12=192$(种).