《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

(1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(B)
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 解析：选 B. 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 24 种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有 8 种可能，则所求概率为$\frac {8}{24}=\frac {1}{3}$，故选 B.

(2)校运会期间,需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作,学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作,其中甲、乙2名志愿者不承担铅球记录工作,则不同的安排方法共有80种.

答案： 解析：依题意，分两步ÿ①在甲、乙之外的 4 人中任选 1 人，承担铅球记录工作，有 4 种情况；②在剩下的 5 人中任选 2 人，承担跳高和跳远记录工作，有$A_{5}^{2}=20$种情况，则不同的安排方法有$4×20=80$(种).
答案：80

例3 某校举办元旦晚会,现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.(结果用数字作答)
(1)如果4首歌曲相邻,那么有多少种不同的出场顺序?
(2)如果3个舞蹈不相邻,那么有多少种不同的出场顺序?
（1）先将 4 首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有$A_{4}^{4}$种情况，再将捆绑好的 4 首歌曲看做一个整体与 3 个舞蹈排序，有$A_{4}^{4}$种情况，所以有$A_{4}^{4}\cdot A_{4}^{4}=576$种不同的出场顺序.
（2）先将 4 首歌曲排好，有$A_{4}^{4}$种情况，再将 3 个舞蹈排入 4 首歌曲隔开的 5 个空中，有$A_{5}^{3}$种情况，所以有$A_{4}^{4}\cdot A_{5}^{3}=1440$种不同的出场顺序.

答案： （1）先将 4 首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有$A_{4}^{4}$种情况，再将捆绑好的 4 首歌曲看做一个整体与 3 个舞蹈排序，有$A_{4}^{4}$种情况，所以有$A_{4}^{4}\cdot A_{4}^{4}=576$种不同的出场顺序.
（2）先将 4 首歌曲排好，有$A_{4}^{4}$种情况，再将 3 个舞蹈排入 4 首歌曲隔开的 5 个空中，有$A_{5}^{3}$种情况，所以有$A_{4}^{4}\cdot A_{5}^{3}=1440$种不同的出场顺序.

(1)现有4男3女共7个人排成一排照相,其中三个女生不全相邻的排法种数为(B)
A.$A_{3}^{3}A_{5}^{5}$
B.$A_{7}^{7}-A_{5}^{5}A_{3}^{3}$
C.$A_{4}^{4}A_{5}^{3}$
D.$A_{7}^{7}-A_{5}^{3}$

答案： 解析：选 B.7 个人全排列减去 3 个女生全部相邻的情况，即$A_{7}^{7}-A_{5}^{5}A_{3}^{3}$.故选 B.

(2)中国古代儒家提出的“六艺”:礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预计在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,则“书”与“乐”不能相邻,“射”和“御”要相邻的排法种数是144.

答案： 解析：由题意“书”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有$A_{2}^{2}$种排法，然后与“礼”“数”进行排序，共有$A_{3}^{3}$种排法，最后将“乐”与“书”插入 4 个空即可，共有$A_{4}^{2}$种排法，由于是分步进行，所以共有$A_{2}^{2}\cdot A_{3}^{3}\cdot A_{4}^{2}=144$种排法.
答案：144