《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

一 排列数及排列数公式
1. 排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的①所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号②$A_{n}^{m}$表示.
2. 排列数公式
Aₙᵐ = ③n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = $\frac{n!}{(n - m)!}$ (m,n∈N*,m≤n).
3. 全排列
把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列. 这时,排列数公式中m = n,即有Aₙⁿ = n×(n - 1)×(n - 2)×…×3×2×1. 也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积. 正整数1到n的连乘积,叫做④n的阶乘,用⑤n!表示. 于是n个元素的全排列数公式可以写成⑥$A_{n}^{n}=n!$. 另外规定,0! = ⑦1.

答案： ①所有不同排列的个数 ②$A_{n}^{m}$ ③n(n-1)(n-2)…(n-m+1) ④n的阶乘 ⑤n! ⑥$A_{n}^{n}=n!$ ⑦1

例1
(对接教材例3)
(1)$5A_5^3 + 4A_4^2 =$ (D)
A.107
B.323
C.320
D.348

答案： D

(2)2024×2023×2022×…×2008 = (C)
A.$A_2₀_2_4^1^5$
B.$A_2₀_2_4^1^6$
C.$A_2₀_2_4^1^7$
D.$A_2₀_2_4^1^8$

答案： C

(3)计算：$A_2ₙⁿ⁺^3 - A_4ⁿ⁺^1(n∈N*) = $696.

答案： 696

(1)已知n∈N*,n＜21,则(21 - n)·(22 - n)·…·(100 - n) = (A)
A.
B.
C. 
D.

答案： A

(2)计算$\frac{A_9^5 + A_9^4}{A_{10}^6 - A_{10}^5}$ = $\frac{3}{20}$.

答案： $\frac{3}{20}$

(3)若$M = A_1^1 + A_2^2 + A_3^3 + … + A_2₀_2_5^2⁰^2^5,$则M的个位数字是3.

答案： 3

(1)不等式$A_8ˣ ＜ 6A_8ˣ⁻^2$的解集为 (D)
A.[2,8]
B.[2,6]
C.(7,12)
D.{8}

答案： D

(2)若$3Aₓ^3 = 2Aₓ₊_1^2 + 6Aₓ^2,$则x = 5.

答案： 5

求证：$Aₙᵐ + mAₙᵐ⁻^1 = Aₙ₊_1ᵐ(m,n$为大于1的自然数).
证明：$A_{n}^{m}+mA_{n}^{m-1}=n(n-1)·…·(n-m+1)+mn(n-1)·…·(n-m+1+1)=n(n-1)·…·(n-m+2)·[(n-m+1)+m]=(n+1)n(n-1)·…·(n+1-m+1)=A_{n+1}^{m}$.

答案： 证明：$A_{n}^{m}+mA_{n}^{m-1}=n(n-1)·…·(n-m+1)+mn(n-1)·…·(n-m+1+1)=n(n-1)·…·(n-m+2)·[(n-m+1)+m]=(n+1)n(n-1)·…·(n+1-m+1)=A_{n+1}^{m}$.