《2025年同步练习册配套检测卷六年级数学上册鲁教版五四制》

24. (14分)阅读以下材料,并解决问题:
欲求$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{30}$的值,可以按照如下步骤进行:
令$S = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{30}$,①
等式两边同时乘以3,得$3S = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{30} + 3^{31}$,②
由①得,$3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{30} = S - 1$,代入②中,得$3S = S - 1 + 3^{31}$,
解得$S = \frac{1}{2}(3^{31} - 1)$,
所以,$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{30} = \frac{1}{2}(3^{31} - 1)$.
请解答下列问题:
(一)计算:(1)$1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + … + 5^{20}$;
(2)$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+…+\frac{1}{2^{2023}}$.
(一)(1)$\frac{1}{4}(5^{21}-1)$
(2)$1 - \frac{1}{2^{2023}}$

答案： (一)
(1)令$S = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + \cdots + 5^{20}$，①
等式两边同时乘以$5$，得$5S = 5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + \cdots + 5^{20} + 5^{21}$，②
由①得，$5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + \cdots + 5^{20} = S - 1$，代入②中，得$5S = S - 1 + 5^{21}$，
解得$S=\frac{1}{4}(5^{21}-1)$，
所以，$1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + \cdots + 5^{20}=\frac{1}{4}(5^{21}-1)$。
(2)令$S = \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{2023}}$，①
等式两边同时乘以$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\cdots+\frac{1}{2^{2024}}$，②
由①得，$\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{2023}} = S - \frac{1}{2}$，代入②中，得$\frac{1}{2}S = S - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2024}}$，
解得$S = 1 - \frac{1}{2^{2023}}$，
所以，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{2023}} = 1 - \frac{1}{2^{2023}}$。
(二)设图(n)中正方形个数为$a_{n}$，
图
(1)：$a_{1}=1$，
图
(2)：$a_{2}=1 + 2=3$，
图
(3)：$a_{3}=1 + 2 + 4 = 7$，
图
(4)：$a_{4}=1 + 2 + 4 + 8 = 15$，
$\cdots$
$a_{n}=1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{n - 1}$，
令$S = 1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{n - 1}$，
$2S = 2 + 2^{2}+\cdots+2^{n}$，
$2S - S=S = 2^{n}-1$，
当$n = 6$时，$S = 2^{6}-1$，
所以图
(6)中共有正方形个数是$2^{6}-1$，答案选D。
故答案为：(一)
(1)$\frac{1}{4}(5^{21}-1)$；
(2)$1 - \frac{1}{2^{2023}}$；

(二)数形结合:如图,由图(1)到图(2)是一个正方形衍生出两个小正方形,图(3)是图(2)中每个新生小正方形再衍生出两个正方形,……,按照这个的规律,图(6)中共有正方形的个数是( )

A.$2^{5}$
B.$2^{6}$
C.$2^{5} - 1$
D.$2^{6} - 1$

答案： D。