《2025年同步练习册配套检测卷六年级数学上册鲁教版五四制》

24.(10 分)在解决数学问题的过程中,我们常用到分类讨论的数学思想. 下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读,并解答题目后提出的探究.
【提出问题】两个有理数 $a$,$b$ 满足 $a$,$b$ 同号,求 $\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$ 的值.
【解决问题】由 $a$,$b$ 同号可知 $a$,$b$ 有两种可能：① $a$,$b$ 都是正数；② $a$,$b$ 都是负数.
① 若 $a$,$b$ 都是正数,即 $a ＞ 0$,$b ＞ 0$,有 $|a| = a$,$|b| = b$,则 $\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}= \frac{a}{a}+\frac{b}{b}= 1 + 1 = 2$；
② 若 $a$,$b$ 都是负数,即 $a ＜ 0$,$b ＜ 0$,有 $|a| = -a$,$|b| = -b$,则 $\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}= \frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}= (-1)+(-1)= -2$.
所以 $\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$ 的值为 2 或 $-2$.
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)两个有理数 $a$,$b$ 满足 $a$,$b$ 异号,求 $\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$ 的值；
(2)已知 $|a| = 3$,$|b| = 7$,且 $a ＜ b$,求 $a + b$ 的值.
(1)由$a$，$b$异号可知有两种可能：①$a$是正数，$b$是负数；②$a$是负数，$b$是正数。
①若$a＞0$，$b＜0$，则$|a|=a$，$|b|=-b$，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{-b}{b}=1+(-1)=0$；
②若$a＜0$，$b＞0$，则$|a|=-a$，$|b|=b$，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{b}{b}=-1+1=0$。
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值为$0$。
(2)因为$|a|=3$，所以$a=\pm3$；因为$|b|=7$，所以$b=\pm7$。
又因为$a＜b$，所以分情况讨论：
①当$a=3$时，$b=7$，$a+b=3+7=10$；
②当$a=-3$时，$b=7$，$a+b=-3+7=4$。
所以$a+b$的值为$10$或$4$。

答案：
(1)由$a$，$b$异号可知有两种可能：①$a$是正数，$b$是负数；②$a$是负数，$b$是正数。
①若$a＞0$，$b＜0$，则$|a|=a$，$|b|=-b$，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{-b}{b}=1+(-1)=0$；
②若$a＜0$，$b＞0$，则$|a|=-a$，$|b|=b$，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{b}{b}=-1+1=0$。
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值为$0$。
(2)因为$|a|=3$，所以$a=\pm3$；因为$|b|=7$，所以$b=\pm7$。
又因为$a＜b$，所以分情况讨论：
①当$a=3$时，$b=7$，$a+b=3+7=10$；
②当$a=-3$时，$b=7$，$a+b=-3+7=4$。
所以$a+b$的值为$10$或$4$。