《2025年同步练习册配套检测卷六年级数学上册鲁教版五四制》

27. (6分)如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和等边三角形拼接而成。
第①个图案有4个等边三角形和1个正方形;
第②个图案有7个等边三角形和2个正方形;
第③个图案有10个等边三角形和3个正方形;
……

(1)依此规律,第$n$($n$为正整数)个图案有n个正方形。
(2)依此规律,第$n$($n$为正整数)个图案有多少个等边三角形?(用含$n$的代数式表示)
当$n = 2024$时,等边三角形和正方形的个数共有多少个?
由题意得，第①个图案等边三角形个数为4=3×1+1，第②个为7=3×2+1，第③个为10=3×3+1，故第n个图案有(3n+1)个等边三角形。当n=2024时，等边三角形个数为3×2024+1=6073，正方形个数为2024，总数为6073+2024=8097。
(3)是否存在一个图案中有2024个等边三角形?若存在,求出是第几个;若不存在,请说明理由。
假设存在，令3n+1=2024，解得n=2023/3，不是正整数，故不存在。
(4)若正方形和等边三角形的边长为$1\ cm$,则第10个图形中线段的长度和是62。

答案：
(1) n
(2) 由题意得，第①个图案等边三角形个数为4=3×1+1，第②个为7=3×2+1，第③个为10=3×3+1，故第n个图案有(3n+1)个等边三角形。当n=2024时，等边三角形个数为3×2024+1=6073，正方形个数为2024，总数为6073+2024=8097。
(3) 假设存在，令3n+1=2024，解得n=2023/3，不是正整数，故不存在。
(4) 62