《2025年新课程实践与探究丛书七年级数学上册人教版》

6. 已知整式$(a - 1)x^{3} - 2x - (a + 3)$.
(1)若它是关于$x$的一次式,求$a$的值并写出常数项；
(2)若它是关于$x$的三次二项式,求$a$的值并写出最高次项.

答案：
(1)$a=1$,常数项为$-(a+3)=-4$;
(2)$a=-3$,最高次项为$-4x^{3}$.

例6 已知多项式$x^{10} - x^{9}y + x^{8}y^{2} - … - xy^{9} + y^{10}$.
(1)该多项式有什么特点和规律？
(2)按规律写出多项式从左至右的第六项,并指出它的次数和系数.
(3)这个多项式是几次几项式？
分析 该多项式的特点：$x$的次数在递减,$y$的次数在递增,且次数之和为 10,满足奇数项系数为正,偶数项系数为负.

答案：
(1)特点:$x$的次数在递减,$y$的次数在递增,各项次数之和为10,奇数项系数为正,偶数项系数为负.规律:$(-1)^{n+1}x^{11-n}y^{n-1}$.
(2)$-x^{5}y^{5}$,次数是10,系数是$-1$.
(3)十次十一项式.

7. 数学家发明了一个魔术盒,当任意有理数对$(a,b)$进入其中时,会得到一个新的有理数：$a^{2} + b + 1$. 例如把$(3,-2)$放入魔术盒中,就会得到$3^{2} + (-2) + 1 = 8$. 现将有理数对$(-2,3)$放入其中,得到有理数$m$,则再将有理数对$(m,1)$放入其中,得到的有理数是______.

答案： 7. 66