《2025年新课程课堂同步练习册八年级数学上册华师大版》

1. 等腰三角形的底角是锐角.

答案： 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，即底角为直角或钝角。
设等腰三角形的两个底角为∠B和∠C，顶角为∠A。
∵三角形是等腰三角形，
∴∠B=∠C。
若底角为直角，则∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°=∠A+180°＞180°，
这与三角形内角和定理（三角形内角和为180°）矛盾。
若底角为钝角，则∠B=∠C＞90°，
∴∠A+∠B+∠C＞∠A+90°+90°=∠A+180°＞180°，
同样与三角形内角和定理矛盾。
∴假设不成立，等腰三角形的底角是锐角。

2. 如果两个整数的积是偶数,那么这两个整数中至少有一个是偶数.

答案： 证明:假设这两个整数都是奇数,因为两个奇数的积一定是奇数,这与条件"两个整数的积是偶数"矛盾,所以假设不成立,所以这两个整数中至少有一个是偶数

3. 公元前$5$世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数$\sqrt{2}$,导致了第一次数学危机.教材在第$10$章给出了“$\sqrt{2}$不是有理数”的推理,请结合课本的推理过程,证明：$\sqrt{3}$不是有理数.

答案： 假设$\sqrt{3}$是有理数,那么它可以表示成$\frac{q}{p}$(p与q是互质的两个正整数). 于是$\left(\frac{q}{p}\right)^2=(\sqrt{3})^2=3$,所以,$q^2=3p^2$. 于是$q^2$是3的倍数,所以q也是3的倍数,从而可设q=3m,所以$(3m)^2=3p^2$,$p^2=3m^2$,于是可得p也是3的倍数,这与"p与q是互质的两个正整数"矛盾. 从而可知"$\sqrt{3}$是有理数"的假设不成立,所以$\sqrt{3}$是无理数