《2025年新课程课堂同步练习册八年级数学上册华师大版》

3. 已知$a + b = 6$,$ab = 8$,求下列各式的值：
(1) $a^2 + b^2$；
(2) $(a - b)^2$.

答案： $(1)$求$a^{2}+b^{2}$的值
解：
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^2-2ab$。
已知$a + b = 6$，$ab = 8$，将其代入上式可得：
$a^{2}+b^{2}=6^{2}-2×8$
$=36 - 16$
$=20$
$(2)$求$(a - b)^2$的值
解：
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，由$(1)$已求得$a^{2}+b^{2}=20$，$ab = 8$，将其代入可得：
$(a - b)^2=a^{2}+b^{2}-2ab$
$=20-2×8$
$=20 - 16$
$=4$
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{20}$；$(2)$$\boldsymbol{4}$。

4. 根据[素材],完成[探究活动]和[拓展应用].
[素材1]贾宪三角(如图1)最初于11世纪被发现,在我国北宋时期数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》一书中,原名“开方作法本源图”,用来作开方运算. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》一书中记载着这一图表. 因此,后人把这个图表称作“贾宪三角”或“杨辉三角”.
[素材2]我们发现,在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方$(a + b)^2的展开式a^2 + 2ab + b^2$的系数. 通过计算还发现,第四行的四个数恰好对应着两数和的立方$(a + b)^3的展开式a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$的系数,第五行的五个数恰好对应着两数和的四次方$(a + b)^4的展开式a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$的系数……. 由此可见,贾宪三角告诉了我们$(a + b)^n$展开式的系数规律(如图2).
[探究活动]根据素材内容直接写出结果：
①$(a + b)^7$的展开式共有8项；
②$(a + b)^n$的展开式共有$n+1$项,$(a + b)^n$的展开式各项系数和是$2^{n}$；
③利用上面的规律计算：$2^5 - 5×2^4 + 10×2^3 - 10×2^2 + 5×2 - 1 = $1.
[拓展应用]今天是星期二,经过$2024^{2025}$天后是星期三.[提示：$2024^{2025} = (2023 + 1)^{2025}$]

答案： [探究活动]①8 ②$n+1$,$2^{n}$ ③1 [拓展应用]三