《2025年新课程课堂同步练习册八年级数学上册华师大版》

1. 下列计算错误的是(B)

A.$(m - 2n)^2 = m^2 - 4mn + 4n^2$
B.$(-m - 2n)^2 = m^2 - 4mn + 4n^2$
C.$\left(a - \dfrac{1}{2}b\right)^2 = a^2 - ab + \dfrac{1}{4}b^2$
D.$\left(a + \dfrac{1}{2}b\right)^2 = a^2 + ab + \dfrac{1}{4}b^2$

答案： B

2. 化简$(a + 1)^2 - (a - 1)^2$的结果是(C)
A.2
B.-2
C.4a
D.$2a^2 + 2$

答案： C

3. 将一块边长为$a\ cm$的正方形图片各边缩小相同的长度,缩小后的正方形边长比原来少$2\ cm$ $(a ＞ 2)$,则缩小后的图片面积减少了(A)
A.$(4a - 4)cm^2$
B.$4\ cm^2$
C.$(a^2 - 4)\ cm^2$
D.$(2a - 4)cm^2$

答案： A

1. 计算：$(3x + 2)(3x - 2) = $$9x^{2}-4$,$(-2a - 1)^2 = $$4a^{2}+4a+1$.

答案： $9x^{2}-4$,$4a^{2}+4a+1$

2. 若代数式$x^2 - kx + 25$是一个两数和(差)的平方式,则$k = $$\pm 10$.

答案： $\pm 10$

3. 多项式$9x^2 + 1$加上一个单项式后等于一个二项式的平方,那么加上的单项式可以是$\pm 6x$或$\frac{81}{4}x^{4}$(填一个即可).

答案： $\pm 6x$或$\frac{81}{4}x^{4}$

4. 在代数式$(a - 3)^2 + 4$中,无论$a$取何值,$(a - 3)^2都大于等于0$,再加上$4$,则代数式：$(a - 3)^2 + 4大于等于4$,即$(a - 3)^2 + 4有最小值为4$. 仿照上述思路,代数式$-a^2 + 12a - 8$的最大值为28.

答案： 28

1. 计算：
(1) $(x + y)(x - y)(x^2 - y^2)$；
(2) $(2x + y)^2 - (2x - y)^2$；

答案： $(1)$ 计算$(x + y)(x - y)(x^2 - y^2)$
解：
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^2 - b^2$，先计算$(x + y)(x - y)$：
$(x + y)(x - y)=x^2 - y^2$
则原式变为$(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)=(x^2 - y^2)^2$
再根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab + b^2$，这里$a = x^2$，$b = y^2$，可得：
$(x^2 - y^2)^2=(x^2)^2-2x^2y^2+(y^2)^2=x^4-2x^2y^2 + y^4$
$(2)$ 计算$(2x + y)^2 - (2x - y)^2$
解：
方法一：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab + b^2$，$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$分别展开：
$(2x + y)^2=(2x)^2+2×(2x)× y + y^2=4x^2 + 4xy + y^2$
$(2x - y)^2=(2x)^2-2×(2x)× y + y^2=4x^2 - 4xy + y^2$
则$(2x + y)^2 - (2x - y)^2=(4x^2 + 4xy + y^2)-(4x^2 - 4xy + y^2)$
去括号得：$4x^2 + 4xy + y^2-4x^2 + 4xy - y^2$
合并同类项得：$(4x^2-4x^2)+(4xy + 4xy)+(y^2 - y^2)=8xy$
方法二：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a=(2x + y)$，$b=(2x - y)$
则$(2x + y)^2 - (2x - y)^2=[(2x + y)+(2x - y)][(2x + y)-(2x - y)]$
去括号得：$(2x + y+2x - y)(2x + y-2x + y)$
合并同类项得：$(4x)(2y)=8xy$
综上，$(1)$的结果为$x^4-2x^2y^2 + y^4$；$(2)$的结果为$8xy$。

2. 已知$(a + b)^2 = 9$,$(a - b)^2 = 1$,求下列各式的值：
(1) $ab$；
(2) $a^2 - ab + b^2$.

答案： 1. （1）
解：
因为$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}=9$ \①\，$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}=1$ \②\。
用$①-②$得：$(a^{2}+2ab + b^{2})-(a^{2}-2ab + b^{2})=9 - 1$。
去括号：$a^{2}+2ab + b^{2}-a^{2}+2ab - b^{2}=8$。
合并同类项：$4ab = 8$。
解得$ab = 2$。
2. （2）
解：
由$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}=9$，$ab = 2$。
可得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^2-2ab$。
把$(a + b)^2 = 9$，$ab = 2$代入上式得：$a^{2}+b^{2}=9-2×2=9 - 4 = 5$。
则$a^{2}-ab + b^{2}=(a^{2}+b^{2})-ab$。
把$a^{2}+b^{2}=5$，$ab = 2$代入得：$5-2 = 3$。
综上，（1）$ab = 2$；（2）$a^{2}-ab + b^{2}=3$。