《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

22. （11 分）（1）如图①，点 $E$，$F$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $AB$，$BC$ 上，$\angle EDF = 45^{\circ}$，连接 $EF$，求证：$EF = AE + FC$。
（2）如图②，点 $E$，$F$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上，$\angle EDF = 45^{\circ}$，猜想 $EF$，$AE$，$FC$ 之间的数量关系，请直接写出结果。

答案：
22.
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC = CD = AD,∠B = ∠C = ∠ADC = ∠DAB = 90°.
如图①,延长BA至点M,使AM = CF,连接MD,


在△AMD和△CFD中,
$\begin{cases}AM = CF \\∠MAD = ∠C \\AD = CD\end{cases}$
∴ △AMD≌△CFD(SAS),
∴ ∠MDA = ∠FDC,MD = FD.
∵ ∠EDF = 45°,
∴ ∠ADE + ∠FDC = 45°,
∴ ∠MDA + ∠ADE = 45° = ∠MDE,
∴ ∠MDE = ∠EDF.在△EDM和△EDF中,
$\begin{cases}MD = FD \\∠MDE = ∠EDF \\DE = DE\end{cases}$
∴ △EDM≌△EDF(SAS),
∴ EM = EF.
∵ EM = AM + AE,
∴ EF = AE + FC；
(2)EF² = AE² + FC².
[提示]如图②,将△CDF绕点D顺时针旋转90°,可得△ADN,连接EN,由旋转的性质,可得DN = DF,AN = CF,∠DAN = ∠DCF = 45°,∠CDF = ∠ADN,
∴ ∠CAN = ∠CAD + ∠DAN = 90°,
∴ EN² = AE² + AN².
∵ ∠EDF = 45°,
∴ ∠CDF + ∠ADE = 45°,
∴ ∠ADE + ∠ADN = 45° = ∠NDE = ∠EDF.在△EDF和△EDN中,
$\begin{cases}DF = DN \\∠EDF = ∠NDE \\DE = DE\end{cases}$
∴ △EDF≌△EDN(SAS),
∴ EF = EN,
∴ EF² = AE² + FC².

23. （11 分）（1）【问题情境】如图①，$P$ 是线段 $AB$ 上一点，分别以 $AP$，$BP$ 为边在 $AB$ 的同侧作等边三角形 $APC$ 和等边三角形 $BPD$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $DC$，$CA$，$AB$，$BD$ 的中点，猜想四边形 $EFGH$ 是什么特殊四边形，请直接写出答案。
（2）【变式延伸】如图②，点 $P$ 在线段 $AB$ 的下方，$PC = PA$，$PD = PB$，$\angle APC = \angle BPD$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $DC$，$CA$，$AB$，$BD$ 的中点，此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请举一个反例。
（3）【拓展应用】如图③，点 $P$ 在 $AB$ 的上方，在直线 $AB$ 的上方作 $PC = PA$，$PD = PB$，$\angle APC = \angle BPD = 90^{\circ}$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $DC$，$CA$，$AB$，$BD$ 的中点。请画出合适的图形，试猜想四边形 $EFGH$ 是什么特殊四边形，并说明理由。

答案：
23.
(1)菱形；
[提示]如图①,连接BC,AD.

∵ E,H分别是DC,BD的中点,
∴ EH = $\frac{1}{2}$BC,EH//BC.同理FG = $\frac{1}{2}$BC,FG//BC,EF = $\frac{1}{2}$AD,
∴ EH = FG,EH//FG,
∴ 四边形EFGH是平行四边形.
∵ △APC和△BPD为等边三角形,
∴ AP = CP,PD = PB,∠APC = ∠BPD = 60°,
∴ ∠APC + ∠CPD = ∠BPD + ∠CPD,即∠APD = ∠CPB,
∴ △APD≌△CPB(SAS),
∴ AD = BC,
∴ EF = EH,
∴ 平行四边形EFGH是菱形，

∴ 四边形EFGH是菱形；
(2)成立. 理由如下:
如图②,连接AD,BC.
∵ ∠APC = ∠BPD,
∴ ∠APC + ∠CPD = ∠BPD + ∠CPD,
∴ ∠APD = ∠CPB.在△APD和△CPB中,
∵ AP = CP,∠APD = ∠CPB,PD = PB,
∴ △APD≌△CPB(SAS),
∴ AD = CB.
∵ E,F,G,H分别是DC,CA,AB,BD的中点,
∴ EF = $\frac{1}{2}$AD,FG = $\frac{1}{2}$BC,GH = $\frac{1}{2}$AD,EH = $\frac{1}{2}$BC,
∴ EF = FG = GH = EH,
∴ 四边形EFGH是菱形；
(3)如图③,四边形EFGH是正方形.

理由如下:连接AD,BC,AD与BC相交于点M,AD与PC相交于点N.
由
(2)可得△APD≌△CPB,四边形EFGH是菱形，
∴ ∠PAD = ∠PCB.
∵ ∠PAN + ∠ANP = 90°,∠ANP = ∠CNM,
∴ ∠NCM + ∠CNM = 90°,
∴ ∠NMC = 90°.
∵ EH//BC,EF//AD,
∴ ∠FEH = 90°,
∴ 菱形EFGH是正方形,
∴ 四边形EFGH是正方形.