《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

23. （11 分）阅读理解学习。
在学习“直角三角形的边角关系”这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记。请仔细阅读并完成相应的任务。
【阅读材料】在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A $，$ \angle B $，$ \angle C $ 的对边分别记为 $ a $，$ b $，$ c $，$ \triangle ABC $ 的面积记为 $ S_{\triangle ABC} $，过点 $ A $ 作 $ AD \perp BC $，垂足为 $ D $。$ \because \sin B = \frac{AD}{AB} $，$ \therefore AD = AB · \sin B $。
$ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2}BC · AB · \sin B = \frac{1}{2}a · c · \sin B $。
同理可得 $ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}b · c · \sin A $，$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}a · b · \sin C $。
$ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}b · c · \sin A = \frac{1}{2}a · c · \sin B = \frac{1}{2}a · b · \sin C $。……①
由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半。
又 $ abc \neq 0 $，将等式 $ \frac{1}{2}b · c · \sin A = \frac{1}{2}a · c · \sin B = \frac{1}{2}a · b · \sin C $ 两边同除以 $ \frac{1}{2}abc $，得 $ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} $，即 $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $。……②
由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。
【理解应用】如图，甲船以 $ 24\sqrt{3} $ 海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于 $ A $ 处时，乙船位于甲船的南偏西 $ 75^{\circ} $ 方向的 $ B $ 处，且乙船从 $ B $ 处沿北偏东 $ 15^{\circ} $ 方向匀速直线航行，当甲船航行 $ 20 $ 分钟到达 $ D $ 处时，乙船航行到甲船的南偏西 $ 60^{\circ} $ 方向的 $ C $ 处，两船相距 $ 8\sqrt{3} $ 海里。
（1）求 $ \triangle ADC $ 的面积；
（2）求乙船航行的路程为多少海里。（结果保留根号）

答案：
23.
(1)由题意知，$\angle ADC = 60°$，$DC = 8\sqrt{3}$海里，$AD = 24\sqrt{3} × \frac{20}{60} = 8\sqrt{3}$(海里)，
由材料中结论①知，$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}DC · AD · \sin \angle ADC = \frac{1}{2} × 8\sqrt{3} × 8\sqrt{3} × \sin60° = \frac{1}{2} × 8\sqrt{3} × 8\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3}$(平方海里)，
所以$\triangle ADC$的面积为$48\sqrt{3}$平方海里.
(2)由
(1)知，$DC = AD$，$\angle ADC = 60°$，$\therefore$ $\triangle ACD$是等边三角形，

$\therefore$ $\angle DAC = 60°$，$AC = AD = 8\sqrt{3}$海里.
又$\angle BAM = 75°$，$\therefore$ $\angle BAC = 180° - 75° - 60° = 45°$.
由题意知，$\angle NBC = 15°$，$\angle NBA = 75°$，$\therefore$ $\angle ABC = 75° - 15° = 60°$.
在$\triangle ABC$中，由材料中结论②，得$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$，$\therefore$ $BC = \frac{AC · \sin \angle BAC}{\sin \angle ABC} = \frac{8\sqrt{3} × \sin45°}{\sin60°} = \frac{8\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\sqrt{2}$(海里)，$\therefore$ 乙船航行的路程为$8\sqrt{2}$海里.