《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

19. (9 分)(2022·杭州)如图，在 $Rt\triangle ACB$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$M$ 为边 $AB$ 的中点，点 $E$ 在线段 $AM$ 上，$EF \perp AC$ 于点 $F$，连接 $CM$，$CE$。已知 $\angle A = 50^{\circ}$，$\angle ACE = 30^{\circ}$。
(1)求证：$CE = CM$；
(2)若 $AB = 4$，则线段 $FC$ 的长为$\sqrt{3}$。

答案： 19.
(1)
∵ ∠ACB = 90°,M为边AB的中点,
∴ MC = MA = MB,
∴ ∠MCA = ∠A,∠MCB = ∠B.
∵ ∠A = 50°,
∴ ∠MCA = 50°,∠MCB = ∠B = 40°,
∴ ∠EMC = ∠MCB + ∠B = 80°,
∵ ∠ACE = 30°,
∴ ∠MEC = ∠A + ∠ACE = 80°,
∴ ∠MEC = ∠EMC,
∴ CE = CM；
(2)$\sqrt{3}$ [提示]
∵ AB = 4,
∴ CE = CM = $\frac{1}{2}$AB = 2.
∵ EF⊥AC,∠ACE = 30°,
∴ EF = $\frac{1}{2}$CE = 1,
∴ FC = $\sqrt{3}$.

20. （9 分）（2023·内江）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是 $AD$ 的中点，过点 $A$ 作 $AF // BC$ 交 $CE$ 的延长线于点 $F$。
（1）求证：$FA = BD$；
（2）连接 $BF$，若 $AB = AC$，求证：四边形 $ADBF$ 是矩形。

答案： 20.
(1)
∵ AF//BC,
∴ ∠AFE = ∠DCE,∠FAE = ∠CDE.又
∵ E是AD的中点,
∴ AE = DE,
∴ △AEF≌△DEC(AAS),
∴ FA = CD.又
∵ D是BC的中点，
∴ BD = CD,
∴ FA = BD；
(2)
∵ FA = BD,AF//BD,
∴ 四边形ADBF是平行四边形.
∵ AB = AC,D是BC的中点，
∴ AD⊥BC,
∴ ∠ADB = 90°,
∴ 平行四边形ADBF是矩形，
∴ 四边形ADBF是矩形.

21. （10 分）如图，在矩形 $ABCD$ 中，$P$ 是线段 $AD$ 上一动点，$O$ 为 $BD$ 的中点，$PO$ 的延长线交 $BC$ 于点 $Q$。
（1）求证：$OP = OQ$。
（2）若 $AD = 8cm$，$AB = 6cm$，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1cm/s$ 的速度向点 $D$ 运动（不与点 $D$ 重合）。设点 $P$ 运动时间为 $ts$，请用含 $t$ 的式子表示 $PD$ 的长，并求 $t$ 为何值时，四边形 $PBQD$ 是菱形。

答案： 21.
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC,
∴ ∠PDO = ∠QBO.又
∵ OB = OD,∠POD = ∠QOB,
∴ △POD≌△QOB,
∴ OP = OQ；
(2)由题意,得PD = 8 - t,
∵ OP = OQ,OB = OD,
∴ 四边形PBQD是平行四边形.当PB = PD时,▱PBQD是菱形,
∴ PB = PD = 8 - t.在Rt△ABP中,AP² + AB² = BP²,
∴ t² + 6² = (8 - t)²,
∴ t = $\frac{7}{4}$.
∴ 当t = $\frac{7}{4}$s时,四边形PBQD是菱形.