《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

23. （11 分）已知反比例函数 $y = \frac{k}{4x}$ 和一次函数 $y = 2x - 1$，其中一次函数的图象经过 $(a, b)$，$(a + 2, b + k)$ 两点.
(1) 求反比例函数的解析式.
(2) 如图，已知点 $A$ 在第一象限，且同时在上述两函数的图象上，求点 $A$ 的坐标.
(3) 利用 (2) 的结果，问：在 $x$ 轴上是否存在点 $P$，使得 $\triangle AOP$ 为等腰三角形？若存在，把符合条件的点 $P$ 坐标直接写出来；若不存在，请说明理由.

答案：
(1)将$(a,b)$,$(a+2,b+k)$代入$y=2x-1$,得$b=2a-1$,$b+k=2(a+2)-1$,解得$k=4$.$\therefore y=\frac{4}{4x}=\frac{1}{x}$. ……3分
(2)当$\frac{1}{x}=2x-1$时,得$x_1=-0.5$,$x_2=1$. ……5分
$\because A$点在第一象限,$\therefore$点$A$的坐标为$(1,1)$.
……7分
(3)存在. ……8分
点$P_1(1,0)$,$P_2(2,0)$,$P_3(\sqrt{2},0)$,$P_4(-\sqrt{2},0)$.
……11分