《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

13. 菱形有一个内角为 $60°$，较短的对角线长为 $6$，则它的面积为18√3.

答案： 13.$18\sqrt{3}$

14. 已知直角三角形的两边长是方程 $x^2 - 7x + 12 = 0$ 的两个根，则第三边长为√7或5.

答案： 14.$\sqrt{7}$或5

15. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在函数 $y = \frac{4}{x}(x ＞ 0)$ 的图象上，$AB \perp x$ 轴于点 $B$，$AB$ 的垂直平分线与 $y$ 轴交于点 $C$，与函数 $y = \frac{4}{x}(x ＞ 0)$ 的图象交于点 $D$. 连接 $AC$，$CB$，$BD$，$DA$，则四边形 $ACBD$ 的面积等于4.

答案： 15.4

16. （8 分）解方程：
(1) $2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$；
(2) $x^2 + 4x - 6 = 0$.

答案：
(1)$a=2$,$b=-2\sqrt{3}$,$c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×2×1=4＞0$. ……2分
$\therefore x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{4}}{2×2}=\frac{2\sqrt{3}\pm2}{4}=\frac{\sqrt{3}\pm1}{2}$,
即$x_1=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,$x_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. ……4分
(2)$x^2+4x=6$,$x^2+4x+2^2=6+4$,$(x+2)^2=10$,
$x+2=\pm\sqrt{10}$, ……6分
即$x+2=\sqrt{10}$或$x+2=-\sqrt{10}$,
$\therefore x_1=-2+\sqrt{10}$,$x_2=-2-\sqrt{10}$. ……8分

17. （9 分）如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // DC$，$AB = AD$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$AC$ 平分 $\angle BAD$，过点 $C$ 作 $CE \perp AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$，连接 $OE$.
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.
(2) 若 $AB = \sqrt{5}$，$BD = 2$，求 $OE$ 的长.

答案：
(1)$\because AC$平分$\angle BAD$,
$\therefore \angle DAC=\angle BAC$. ……1分
$\because AB// DC$,
$\therefore \angle DCA=\angle BAC$,
$\therefore \angle DAC=\angle DCA$, ……2分
$\therefore DA=DC$.
又$\because AB=AD$,
$\therefore AB=DC$. ……3分
又$\because AB// DC$,
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形. ……4分
又$\because AB=AD$,
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形. ……5分
(2)$\because$四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore OA=OC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD=1$,$AC\perp BD$. ……6分
在$Rt\triangle ABO$中,由勾股定理,得$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2$.
$\therefore AC=2OA=4$. ……8分
$\because CE\perp AB$,$OA=OC$,
$\therefore OE=\frac{1}{2}AC=2$. ……9分