《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

22. (8 分)(2023·达州)【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 12V 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 L(灯丝的阻值 $ R_L = 2\Omega $)亮度的实验(如图)。已知串联电路中，电流与电阻 $ R $、$ R_L $ 之间关系为 $ I = \frac{U}{R + R_L} $，通过实验得出如下数据：
(1)$ a = $2，$ b = $1.5。
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数 $ y = \frac{12}{x + 2}(x \geq 0) $，结合表格信息，探究函数 $ y = \frac{12}{x + 2}(x \geq 0) $ 的图象与性质。

① 在平面直角坐标系中画出对应函数 $ y = \frac{12}{x + 2}(x \geq 0) $ 的图象；
② 随着自变量 $ x $ 的不断增大，函数值 $ y $ 的变化趋势是不断减小。
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当 $ x \geq 0 $ 时，$ \frac{12}{x + 2} \geq -\frac{3}{2}x + 6 $ 的解集为$x \geq 2$或$x = 0$。

答案： 22.
(1)2 1.5
(2)①图略 ②不断减小
(3)$x \geq 2$或$x = 0$

23. （12 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $ y_1 = kx + b $ 的图象分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于 $ A $，$ B $ 两点，与反比例函数 $ y_2 = \frac{n}{x} $ 的图象交于 $ C $，$ D $ 两点。已知点 $ C $ 的坐标为 $ (-4,-1) $，点 $ D $ 的横坐标为 2。
（1）求反比例函数与一次函数的解析式。
（2）直接写出当 $ x $ 为何值时 $ y_1 ＞ y_2 $。
（3）点 $ P $ 是反比例函数在第一象限的图象上的点，且点 $ P $ 的横坐标大于 2，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线，垂足为 $ E $。当 $ \triangle APE $ 的面积为 3 时，求点 $ P $ 的坐标。

答案： 23.
(1)
∵点$C( - 4, - 1)$在反比例函数$y_2 = \frac {n}{x}$的图象上，
∴$- 1 = - \frac {n}{4}$，
∴$n = 4$，
∴反比例函数的解析式为$y_2 = \frac {4}{x}$.
∵点$D$的横坐标为2，
∴点$D$的坐标为$(2,2)$.
把点$C$，$D$的坐标代入一次函数$y_1 = kx + b$，可得$\begin{cases} - 4k + b = - 1 \\ 2k + b = 2 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k = \frac {1}{2} \\ b = 1 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y_1 = \frac {1}{2}x + 1$.
(2)$- 4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$.
(3)当$y_1 = 0$时，$\frac {1}{2}x + 1 = 0$，解得$x = - 2$.
∴点$A$的坐标为$( - 2,0)$.
设点$P$的坐标为$(m,\frac {4}{m})$.
∵$\triangle APE$的面积为3，
∴$\frac {1}{2}(m + 2) · \frac {4}{m} = 3$，解得$m = 4$.
经检验，$m = 4$符合题意.
∴点$P$的坐标为$(4,1)$.