《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

20. （10 分）如图，一次函数 $ y = mx + 5 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 在第一象限的图象交于 $ A(1,n) $ 和 $ B(4,1) $ 两点，过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线，垂足为 $ M $。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 $ \triangle OAM $ 的面积 $ S $；
（3）在 $ y $ 轴上求点 $ P $，使 $ PA + PB $ 最小。

答案：
20.
(1)将$B(4,1)$代入$y = \frac {k}{x}$，得$1 = \frac {k}{4}$，
∴$k = 4$，
∴反比例函数的表达式为$y = \frac {4}{x}$.
将$B(4,1)$代入$y = mx + 5$，得$1 = 4m + 5$，
∴$m = - 1$，
∴一次函数的表达式为$y = - x + 5$.
(2)在$y = \frac {4}{x}$中，令$x = 1$，解得$y = 4$，
∴点$A$的坐标为$(1,4)$，
∴$\triangle OAM$的面积$S = \frac {1}{2}×1×4 = 2$.
(3)如图，作点$A$关于$y$轴的对称点$N$，则点$N$的坐标为$( - 1,4)$，连接$BN$交$y$轴于点$P$，点$P$即为所求.

设直线$BN$的关系式为$y = k'x + b$，
由$\begin{cases} 4k' + b = 1 \\ - k' + b = 4 \end{cases}$，得$\begin{cases} k' = - \frac {3}{5} \\ b = \frac {17}{5} \end{cases}$.
∴直线$BN$的关系式为$y = - \frac {3}{5}x + \frac {17}{5}$.
当$x = 0$时，$y = \frac {17}{5}$.
∴点$P$的坐标为$(0,\frac {17}{5})$.

21. （10 分）（2023·广安）如图，一次函数 $ y = kx + \frac{9}{4} $（$ k $ 为常数，$ k \neq 0 $）的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $（$ m $ 为常数，$ m \neq 0 $）的图象在第一象限交于点 $ A(1,n) $，与 $ x $ 轴交于点 $ B(-3,0) $。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，$ \triangle ABP $ 是以 $ AB $ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $ P $ 的坐标。

答案： 21.
(1)将$A(1,n)$，$B( - 3,0)$分别代入一次函数$y = kx + \frac {9}{4}$，得$\begin{cases} k + \frac {9}{4} = n \\ - 3k + \frac {9}{4} = 0 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k = \frac {3}{4} \\ n = 3 \end{cases}$，所以点$A$的坐标是$(1,3)$.
将$A(1,3)$代入反比例函数$y = \frac {m}{x}$，得$\frac {m}{1} = 3$，
解得$m = 3$.
故一次函数的表达式为$y = \frac {3}{4}x + \frac {9}{4}$，反比例函数的表达式为$y = \frac {3}{x}$.
(2)点$P$的坐标为$(5,0)$或$( - 8,0)$或$(2,0)$.【提示】由
(1)知，$A(1,3)$，$B( - 3,0)$，则$AB = \sqrt {3^2 + 4^2} = 5$.
设点$P$的坐标为$(a,0)$.
当$AB = AP$时，$5 = \sqrt {(1 - a)^2 + 3^2}$，解得$a = - 3$(舍去)或$a = 5$，故点$P$的坐标为$(5,0)$.
当$AB = PB$时，$5 = | - 3 - a|$，解得$a = - 8$或$a = 2$.故点$P$的坐标为$( - 8,0)$或$(2,0)$.
综上所述，符合条件的点$P$的坐标为$(5,0)$或$( - 8,0)$或$(2,0)$.