《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

17. （8 分）（2022·恩施）如图，已知四边形 $ABCD$ 是正方形，$G$ 为线段 $AD$ 上任意一点，$CE \perp BG$ 于点 $E$，$DF \perp CE$ 于点 $F$。求证：$DF = BE + EF$。

答案： 17.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC = CD,∠BCD = 90°.
∵ CE⊥BG,DF⊥CE,
∴ ∠BEC = ∠CFD = 90°,
∴ ∠BCE + ∠CBE = 90° = ∠BCE + ∠DCF,
∴ ∠CBE = ∠DCF.在△CBE和△DCF中,
$\begin{cases}∠CBE = ∠DCF \\∠BEC = ∠CFD \\BC = CD\end{cases}$
∴ △CBE ≌ △DCF(AAS),
∴ CF = BE,CE = DF.
∵ CE = EF + CF,
∴ DF = BE + EF.

18. （9 分）（2022·北京）如图，在 $□ ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 交于点 $O$，点 $E$，$F$ 在 $AC$ 上，$AE = CF$。
（1）求证：四边形 $EBFD$ 是平行四边形；
（2）若 $\angle BAC = \angle DAC$，求证：四边形 $EBFD$ 是菱形。

答案： 18.
(1)
∵ 在▱ABCD中,AC,BD交于点O,
∴ OA = OC,OB = OD.
∵ AE = CF,
∴ OE = OF,
∴ 四边形EBFD是平行四边形；
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC,
∴ ∠BAC = ∠DCA.
∵ ∠BAC = ∠DAC,
∴ ∠DCA = ∠DAC,
∴ DA = DC,
∴ 平行四边形ABCD为菱形，
∴ DB⊥EF,
∴ 平行四边形EBFD是菱形,
∴ 四边形EBFD是菱形.