《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

13. 如图，把一张矩形纸片 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠后，点 $C$，$D$ 分别落在点 $C'$，$D'$ 上，$EC'$ 交 $AD$ 于点 $G$，已知 $\angle EFG = 58^{\circ}$，那么 $\angle BEG$ 的度数为64°。

答案： 13.64°

14. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形 $ABCD$ 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于30度。

答案： 14.30

15. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$AD = \sqrt{3}$，$AF$ 平分 $\angle DAB$，过点 $C$ 作 $CE \perp BD$ 于点 $E$。延长 $AF$，$EC$ 交于点 $H$。有下列结论：①$AF = FH$；②$BO = BF$；③$CA = CH$；④$BE = 3ED$；⑤$\triangle OAD$ 的周长为 $2 + \sqrt{3}$。其中正确的有②③④⑤(填序号)。
三、解答题(共 75 分)

答案： 15.②③④⑤ [提示]对于②:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD = 90°.
∵ AD = $\sqrt{3}$,AB = 1,
∴ BD = $\sqrt{AD^{2} + AB^{2}}$ = 2,
∴ AB = $\frac{1}{2}$BD,
∴ ∠ADB = 30°,
∴ ∠ABO = 60°.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC,AC = BD,AC = 2AO,BD = 2BO,AO = BO,
∴ △ABO是等边三角形，
∴ AB = BO,∠AOB = ∠BAO = 60° = ∠COE.
∵ AF平分∠BAD,
∴ ∠BAF = ∠DAF = 45°,
∵ AD//BC,
∴ ∠DAF = ∠AFB,
∴ ∠BAF = ∠AFB,
∴ AB = BF.
∵ AB = BO,
∴ BF = BO,
∴ ②正确.
对于③:
∵ ∠BAO = 60°,∠BAF = 45°,
∴ ∠CAH = 15°.
∵ CE⊥BD,
∴ ∠CEO = 90°.
∵ ∠EOC = 60°,
∴ ∠ECO = 30°,
∴ ∠H = ∠ECO - ∠CAH = 30° - 15° = 15° = ∠CAH,
∴ CA = CH,
∴ ③正确.
对于①:在△CAH中,CA = CH,∠AFC = 180° - ∠AFB = 180° - 45° = 135° ≠ 90°,
∴ CF与AH不垂直,
∴ F不是AH的中点，即AF ≠ FH,
∴ ①错误.
对于④:
∵ △AOB是等边三角形，
∴ AO = OB = AB.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ OA = OC,OB = OD,AB = CD,
∴ DC = OC = OD.
∵ CE⊥BD,
∴ DE = EO = $\frac{1}{2}$DO = $\frac{1}{4}$BD,即BE = 3ED,
∴ ④正确.
对于⑤:
∵ OA = OD = AB = 1,AD = $\sqrt{3}$,
∴ △OAD的周长为OA + OD + AD = 2 + $\sqrt{3}$,
∴ ⑤正确.

16. （8 分）（2022·济南）如图，在菱形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 是对角线 $AC$ 上两点，连接 $DE$，$DF$，$\angle ADF = \angle CDE$。求证：$AE = CF$。

答案： 16.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA = DC,
∴ ∠DAC = ∠DCA.
∵ ∠ADF = ∠CDE,
∴ ∠ADF - ∠EDF = ∠CDE - ∠EDF,
∴ ∠ADE = ∠CDF.在△DAE和△DCF中,
$\begin{cases}∠DAC = ∠DCA \\DA = DC \\∠ADE = ∠CDF\end{cases}$
∴ △DAE ≌ △DCF(ASA),
∴ AE = CF.