《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

20. （10分）如图，为了测量一栋楼的高度$OE$，小明同学先在操场上$A$处放一面镜子，向后退到$B$处，恰好在镜子中看到楼的顶部$E$；再将镜子放到$C$处，然后后退到$D$处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部$E$（$O$，$A$，$B$，$C$，$D$在同一条直线上），测得$AC = 2m$，$BD = 2.1m$。如果小明的眼睛距地面高度$BF$，$DG$均为$1.6m$，试确定楼的高度$OE$。

答案：
20.如图，设点E关于点O的对称点为M，延长GC，FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H.
∵　GF//AC，
∴　∠MAC=∠MFG，∠MCA=∠MGF，∠MOA=∠MHF，∠MAO=∠MFH，
∴　△MAC∽△MFG，△MOA∽△MHF，
∴　$\frac{AC}{FG}$=$\frac{MA}{MF}$，$\frac{MA}{MF}$=$\frac{MO}{MH}$，
∴　$\frac{OE}{OE + OH}$=$\frac{OE}{OE + BF}$，$\frac{OE}{OE + 1.6}$=$\frac{AC}{BD}$，即$\frac{OE}{OE + 1.6}$=$\frac{2}{2.1}$，
∴　OE=32，
∴　楼的高度OE为32m.
　　　　

21. （10分）如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 12cm$，$BC = 6cm$，点$P$沿$AB$边从点$A$开始向点$B$以$2cm/s$的速度移动，点$Q$沿$DA$边从点$D$开始向点$A$以$1cm/s$的速度移动，如果点$P$，$Q$同时出发，用$t(s)$表示移动时间（$0 \leq t \leq 6$）。
（1）当$t$为何值时，$\triangle QAP$为等腰三角形？
（2）当$t$为何值时，以$Q$，$A$，$P$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似？

答案： 21.
(1)由QA=AP，得6−t=2t，解得t=2.所以当t=2s 时，△QAP为等腰三角形.
(2)分两种情况讨论：
①当$\frac{QA}{AB}$=$\frac{AP}{BC}$时，△QAP∽△ABC，则$\frac{6−t}{12}$=$\frac{2t}{6}$，解得t=1.2.
②当$\frac{QA}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$时，△QAP∽△CBA，则$\frac{6−t}{6}$=$\frac{2t}{12}$，解得t=3.
所以当t=1.2s或t=3s时，以Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似.

22. （12分）如图，在正方形$ABCD$中，点$E$在$BC$边上，连接$AE$，$\angle DAE$的平分线$AG$与$CD$边交于点$G$，与$BC$的延长线交于点$F$。设$\frac{CE}{EB} = \lambda(\lambda ＞ 0)$。
（1）若$AB = 2$，$\lambda = 1$，求线段$CF$的长。
（2）连接$EG$，若$EG \perp AF$：
①求证：$G$为$CD$边的中点；
②求$\lambda$的值。

答案： 22.
(1)
∵　在正方形ABCD中，AD//BC，
∴　∠DAG=∠F;
又
∵　AG平分∠DAE，
∴　∠DAG=∠EAG，
∴　∠EAG=∠F，
∴　EA=EF.
∵　AB=2，∠B=90°，E为BC的中点，
∴　BE=CE=1，
∴　AE=$\sqrt{AB²+BE²}$=$\sqrt{5}$，
∴　EF=$\sqrt{5}$，
∴　CF=EF−CE=$\sqrt{5}$−1.
(2)①
∵　EA=EF，EG⊥AF，
∴　AG=FG.
在△ADG和△FCG中，
$\begin{cases}∠D = ∠GCF, \\∠AGD = ∠FGC, \\AG = FG\end{cases}$
∴　△ADG≌△FCG(AAS)，
∴　DG=CG，
即G为CD边的中点.
②设CD=2a，则CG=a，
由①知，FC=AD=2a.
∵　EG⊥AF，∠GCF=90°，
∴　∠EGC+∠CGF=90°，∠F+∠CGF=90°，∠ECG=∠GCF=90°，
∴　∠EGC=∠F，
∴　△EGC∽△GFC，
∴　$\frac{EC}{GC}$=$\frac{GC}{FC}$
∵　GC=a，FC=2a，
∴　$\frac{GC}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∴　$\frac{EC}{GC}$=$\frac{1}{2}$，
∴　EC=$\frac{1}{2}$a，BE=BC - EC = 2a - $\frac{1}{2}$a = $\frac{3}{2}$a，
∴　λ = $\frac{CE}{EB}$ = $\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{3}{2}a}$ = $\frac{1}{3}$.