《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

17. （7分）如图，在$\triangle ABC$中，$BC = 48cm$，高$AD = 16cm$，它的内接矩形$MNPQ$的两邻边$MN$与$MQ$之比为$5:9$，求此矩形的周长。

答案： 17.
∵　矩形MNPQ内接于△ABC，
∴　MQ//BC.
∴　∠AMQ=∠B，∠AQM=∠C.
∴　△AMQ∽△ABC.
∴　$\frac{AE}{AD}$=$\frac{MQ}{BC}$.
∵　MN:MQ=5:9，BC=48cm，AD=16cm，
设MN=5x，则MQ=9x，AE=AD−5x=16−5x，
∴　$\frac{16−5x}{16}$=$\frac{9x}{48}$，
∴　x=2.
∴　矩形MNPQ的周长为28x=56(cm).

18. （8分）如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$\angle AED = \angle B$，射线$AG$分别交线段$DE$，$BC$于点$F$，$G$，且$\frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG}$。
（1）求证：$\triangle ADF \backsim \triangle ACG$；
（2）若$\frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}$，求$\frac{AF}{FG}$的值。

答案： 18.
(1)
∵　∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∠ADF+∠AED+∠DAE=180°，∠C+∠B+∠DAE=180°，
∴　∠ADF=∠C.
∵　$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DF}{CG}$，
∴　△ADF∽△ACG.
(2)
∵　△ADF∽△ACG，
∴　$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AG}$.
又
∵　$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴　$\frac{AF}{AG}$=$\frac{1}{2}$，
∴　$\frac{AF}{FG}$=1.

19. （10分）如图，在正方形$ABCD$中，$E$为边$AD$上的点，点$F$在边$CD$上，且$CF = 3FD$，$\angle BEF = 90^{\circ}$。
（1）求证：$\triangle ABE \backsim \triangle DEF$；
（2）若$AB = 4$，延长$EF$交$BC$的延长线于点$G$，求$BG$的长。

答案： 19.
(1)
∵　四边形ABCD为正方形，
∴　∠A=∠D=90°.
∴　∠ABE+∠AEB=90°.
又
∵　∠BEF=90°，
∴　∠AEB+∠DEF=90°.
∴　∠ABE=∠DEF.
∴　△ABE∽△DEF.
(2)
∵　AB=BC=CD=AD=4，CF=3FD，
∴　DF=1，CF=3.
∵　△ABE∽△DEF，
∴　$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$，即$\frac{4 - DE}{1} = \frac{4}{DE}$，
∴　DE=2.
又
∵　ED//CG，
∴　∠FED=∠FGC，∠FDE=∠FCG.
∴　△EDF∽△GCF.
∴　$\frac{DE}{CG}$=$\frac{DF}{CF}$
∴　CG=6.
∴　BG=BC+CG=10.