《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

11. 如果$\frac{a + 2b}{a} = \frac{5}{3}$，那么$\frac{a}{b} =$3。

答案： 11.3

12. 一个五边形的边长为1，2，3，4，5，另一个与它相似的五边形的最长边为7，则它的周长为21。

答案： 12.21

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$BC$上的点，且$DE // AC$，若$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE} = 1:4$，则$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle ACD}$的值等于$\frac{1}{20}$。

答案： 13.$\frac{1}{20}$

14. 如图，已知矩形$ABCD$的边长$AB = 3cm$，$BC = 6cm$。某一时刻，动点$M$从点$A$出发沿$AB$方向以$1cm/s$的速度向点$B$匀速运动；同时动点$N$从点$D$出发沿$DA$方向以$2cm/s$的速度向点$A$匀速运动。若以$A$，$M$，$N$为顶点的三角形与$\triangle ACD$相似，则运动的时间$t$为2.4或1.5s。

答案： 14.2.4或1.5

15. 如图，把矩形纸片$ABCD$沿$EF$，$GH$折叠(点$E$，$H$在$AD$边上，点$F$，$G$在$BC$边上)，使点$B$和点$C$落在$AD$边上同一点$P$处，$A$点的对称点为$A'$点，$D$点的对称点为$D'$点。若$\angle FPG = 90^{\circ}$，$\triangle A'EP$的面积为4，$\triangle D'PH$的面积为1，则矩形$ABCD$的面积等于10+6$\sqrt{5}$。

答案： 15.10+6$\sqrt{5}$　【提示】在矩形ABCD中，设AB=x，由折叠知PA'=AB=x，PD'=CD=x，A'E=AE，D'H=DH，∠A'=∠A=90°，∠D'=∠D=90°，∠A'PF=∠B=90°，∠D'PG=∠C=90°.
∵　∠FPG=90°，
∴　∠FPG + ∠D'PG = 180°，
∴　D'，P，F三点共线.
∵　△A'EP 的面积为4，△D'PH的面积为1，
∴　$\frac{1}{2}$A'E·x=4，$\frac{1}{2}$D'H·x=1，
∴　A'E=4D'H.设D'H=a，则A'E=4a.由折叠知A'E//PF，
∴　∠A'EP=∠D'PH.
　　又
∵　∠A'=∠D'=90°，
∴　△A'EP∽△D'PH，
∴　$\frac{A'E}{D'P}$=$\frac{A'P}{D'H}$，
∴　$\frac{4a}{x}$=$\frac{x}{a}$，
∴　x=2a，
∴　PA'=PD'=2a.
∵　$\frac{1}{2}$·a·2a=1，
∴　a=1(负值舍去)，
∴　x=2，
∴　AB=CD=2，A'E=AE=4，D'H=DH=1，
∴　PE=$\sqrt{2²+4²}$=2$\sqrt{5}$，PH=$\sqrt{1²+2²}$=$\sqrt{5}$
∴　AD=4+2$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$+1=5+3$\sqrt{5}$，
∴ 矩形ABCD的面积=2×(5+3$\sqrt{5}$)=10+6$\sqrt{5}$

16. （6分）（2023·湘潭）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD$是斜边$BC$上的高。
（1）求证：$\triangle ABD \backsim \triangle CBA$；
（2）若$AB = 6$，$BC = 10$，求$BD$的长。

答案： 16.
(1)
∵　AD是斜边BC上的高，
∴　∠BDA=90°.
∵　∠BAC=90°，
∴　∠BDA=∠BAC.
　　又
∵　∠B为公共角，
∴　△ABD∽△CBA.
(2)由
(1)知，△ABD∽△CBA，
∴　$\frac{BD}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴　$\frac{BD}{6}$=$\frac{6}{10}$，
∴　BD=3.6.