《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

19. （9 分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6cm$，$BC = 8cm$，点 $P$ 从点 $A$ 出发沿边 $AC$ 向点 $C$ 以 $1cm/s$ 的速度移动，点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿 $CB$ 边向点 $B$ 以 $2cm/s$ 的速度移动，当其中一点到达终点后另一点随即停止移动. 如果点 $P$，$Q$ 同时出发，几秒后，可使 $PQ$ 的长为 $4\sqrt{2}cm$？

答案： 19.设$ts$后，可使$PQ$的长为$4 \sqrt {2} cm$，则$AP = t cm,CQ = 2t cm$.
∵$PC = AC - AP$，
∴$PC = (6 - t) cm$.
　根据勾股定理，得$(6 - t)^ {2} + (2t)^ {2} = (4 \sqrt {2})^ {2}$，
　解得$t = 2$或$t = \frac {2} {5}$
∴$2s$或$\frac {2} {5} s$后可使$PQ$的长为$4 \sqrt {2} cm$.

20. (9 分)(2022·通辽)如图，一个圆环被 $4$ 条线段分成 $4$ 个区域，现有 $2022$ 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内：
(1)吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率为\frac {1}{4}；
(2)求吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率.(用树状图或列表法表示)

答案：
20.
(1)$\frac {1} {4}$
(2)根据题意画图如下：
　
　共有$12$种等可能的情况，其中吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的情况有$8$种，
　所以吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率是$\frac {8} {12} = \frac {2} {3}$.

21. （10 分）甲口袋中装有 $2$ 个相同小球，它们分别写有数字 $1$，$2$；乙口袋中装有 $3$ 个相同小球，它们分别写有数字 $3$，$4$，$5$；丙口袋中装有 $2$ 个相同小球，它们分别写有数字 $6$，$7$. 从三个口袋各随机取出 $1$ 个小球. 用画树状图或列表法求：
（1）取出的 $3$ 个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的 $3$ 个小球上全是奇数的概率.

答案：
21.
(1)画树状图如下：
　
　共有$12$种等可能的结果，其中取出的$3$个小球上恰好有一个偶数的结果数为$5$，
　所以取出的$3$个小球上恰好有一个偶数的概率为$\frac {5} {12}$.
(2)取出的$3$个小球上全是奇数的结果数为$2$，
　所以取出的$3$个小球上全是奇数的概率为$\frac {2} {12} = \frac {1} {6}$.