《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

23. (11 分)如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”。研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一个根为 $ t $，另一个根为 $ 2t $，则 $ ax^{2}+bx + c=a(x - t)(x - 2t)=ax^{2}-3atx + 2t^{2}a $，所以有 $ b^{2}-\frac{9}{2}ac = 0 $；我们记 $ K = b^{2}-\frac{9}{2}ac $，当 $ K = 0 $ 时，方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 为倍根方程。下面我们根据此结论来解决问题：
(1)在①$ x^{2}-x - 2 = 0 $，②$ x^{2}-6x + 8 = 0 $ 这两个方程中，是倍根方程的是②(填序号)；
(2)若 $ (x - 2)(mx + n)=0 $ 是关于 $ x $ 的倍根方程，求 $ 4m^{2}+5mn + n^{2} $ 的值；
(3)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-\sqrt{m}x+\frac{2}{3}n = 0(m\geq0) $ 是倍根方程，且点 $ A(m,n) $ 在一次函数 $ y = 3x - 8 $ 的图象上，求此倍根方程。

答案： 23.
(1)②
(2)由题意，得(x-2)(mx+n)=0，得$mx^2+(n-2m)x-$
2n=0。
(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，K=(n-
$2m)^2-\frac{9}{2}m·(-2n)=0。$
$4m^2+5mn+n^2=0。$
$(3)x^2-\sqrt{m}x+\frac{2}{3}n=0$是倍根方程，K=
$(-\sqrt{m})^2-\frac{9}{2}×\frac{2}{3}n=0。$
整理，得m=3n。
点A(m,n)在一次函数y=3x-8的图象上，
n=3m-8，n=1,m=3，
此倍根方程为$x^2-\sqrt{3}x+\frac{2}{3}=0。$