《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

21. （10 分）先阅读材料，然后解决后面的问题。
求 $ x^{2}+6x + 11 $ 的最小值。
解：$ x^{2}+6x + 11=x^{2}+6x + 9 + 2=(x + 3)^{2}+2 $。
因为 $ (x + 3)^{2} $ 的值必定为非负数，所以 $ (x + 3)^{2}+2\geq2 $，即 $ x^{2}+6x + 11 $ 的最小值为 2。
（1）若 $ m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0 $，求 $ \left(\frac{m}{n}\right)^{-3} $ 的值；
（2）对于多项式 $ x^{2}+y^{2}-2x + 2y + 5 $，当 $ x $，$ y $ 取何值时，有最小值？

答案： 21.
(1)原式可变为$m^2+2mn+n^2+n^2-6n+9=0，$
$(m+n)^2+(n-3)^2=0，$
m+n=0且n-3=0，
m=-3,n=3，
$(\frac{m}{n})^{-3}=(\frac{-3}{3})^{-3}=(-1)^{-3}=-1。$
(2)原式$=x^2+y^2-2x+2y+1+1+3$
$=(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)+3$
$=(x-1)^2+(y+1)^2+3。$
$(x-1)^2$和$(y+1)^2$的值必定为非负数，
当x=1,y=-1时，$x^2+y^2-2x+2y+5$有最小值。

22. （10 分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50 元，连续两次降价后每千克 32 元，若每次下降的百分率相同。
（1）求每次下降的百分率。
（2）若每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000 元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

答案： 22.
(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得
$50(1-a)^2=32。$
解得$a_1=1.8($不合题意，舍去)，$a_2=0.2。$
答：每次下降的百分率为20%。
(2)设每千克应涨价x元，由题意，得
(10+x)(500-20x)=6000。
整理，得$x^2-15x+50=0。$
解得$x_1=5,x_2=10。$
因为要尽快减少库存，所以x=5符合题意。
该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少
库存，那么每千克应涨价5元。